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Concept
Dodécaèdre rhombique
Résumé
En géométrie, le dodécaèdre rhombique (aussi appelé granatoèdre) est un polyèdre convexe à 12 faces rhombiques identiques. Solide de Catalan, zonoèdre, il est le dual du cuboctaèdre.
Pour le différencier du dodécaèdre de Bilinski, autre dodécaèdre rhombique à 12 faces identiques, on précise parfois dodécaèdre rhombique de première espèce.
La grande diagonale de chaque face vaut exactement √2 fois la longueur de la petite diagonale, ainsi, les angles aigus de chaque face mesurent 2 tan(1/√2), ou approximativement 70,53°.
Étant le dual d'un solide d'Archimède, le dodécaèdre rhombique est de faces uniformes, ce qui signifie que le groupe de symétrie du solide agit transitivement sur l'ensemble des faces. En termes élémentaires, ceci signifie que pour deux faces quelconques A et B, il existe une rotation ou une réflexion du solide qui le laisse occuper la même région de l'espace en déplaçant la face A vers la face B.
Le dodécaèdre rhombique est un des neuf polyèdres convexes à arêtes uniformes, les autres étant les cinq solides de Platon, le cuboctaèdre, l'icosidodécaèdre et le triacontaèdre rhombique.
Il est topologiquement équivalent à l'intersection de 3 cylindres de mêmes diamètres, chacun des axes étant perpendiculaire aux deux autres (comme les diagonales d'un octaèdre régulier).
thumb|left|Partie d'un réseau dodécaédrique rhombique
Le dodécaèdre rhombique peut être utilisé pour paver un espace à trois dimensions. Il peut être empilé pour remplir un espace comme les hexagones remplissent le plan ; les cellules dans un réseau ont une forme similaire au dodécaèdre rhombique coupé par la moitié.
Ce pavage peut être vu comme le diagramme de Voronoï d'un réseau cubique à face centrées. Les abeilles utilisent la géométrie des dodécaèdres rhombiques pour former leurs nids d'abeille à partir du pavage des cellules, chacune d'elles est un prisme hexagonal couvert avec la moitié d'un dodécaèdre rhombique.
Le dodécaèdre rhombique forme la coque de la première projection par sommets d'un tesseract vers les 3 dimensions.
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