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Concept
Probabilité libre
Résumé
La théorie des probabilités libres est une théorie mathématique qui étudie des variables aléatoires non commutatives. La notion de « liberté » ou la propriété d'« indépendance libre » est l'analogue de la notion classique d'indépendance en probabilités, et elle est liée aux produits libres.
Cette théorie a été initiée par Dan Voiculescu vers 1986 afin de d'aborder le problème de l'isomorphisme des facteurs de groupes libres, un problème important non résolu dans la théorie des algèbres d'opérateurs. Étant donné un groupe libre sur un certain nombre de générateurs, on peut considérer l'algèbre de von Neumann engendrée par l'algèbre de groupe, qui est un facteur de type II1. Le problème d'isomorphisme demande si ceux-ci sont isomorphes pour un certain nombre de générateurs. On ne sait même pas si deux facteurs de groupe libres sont isomorphes. Ce problème est similaire au problème des groupes libres de Tarski qui demande si deux groupes libres de type fini non abéliens différents ont la même théorie élémentaire.
Ultérieurement, des connexions ont été établies avec la théorie des matrices aléatoires, la combinatoire,
les représentations de groupes symétriques, le principe de grandes déviations,
l'théorie de l'information quantique.
Dans cette théorie, les variables aléatoires se trouvent en général dans une algèbre unitaire comme une C*-algèbre ou une algèbre de von Neumann. L'algèbre est munie d'une espérance non commutative qui est une forme linéaire telle que .
Les sous-algèbres unitaires sont dites librement indépendantes si l'espérance du produit
est nulle chaque fois que tous les ont une espérance nulle, si elle est dans un , si aucun adjacent ne provient de la même sous-algèbre , et si est non nul. Les variables aléatoires sont librement indépendantes si elles génèrent des sous-algèbres unitaires librement indépendantes.
L'un des objectifs (non encore atteint) de la théorie de probabilité libre était de construire de nouveaux invariants des algèbres de von Neumann ; et la dimension libre est considérée comme un candidat raisonnable pour un tel invariant.
Source officielle
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