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Concept
Pseudo-inverse
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, la notion de pseudo-inverse (ou inverse généralisé) généralise celle d’inverse d’une application linéaire ou d’une matrice aux cas non inversibles en lui supprimant certaines des propriétés demandées aux inverses, ou en l’étendant aux espaces non algébriques plus larges.
En général, il n’y a pas unicité du pseudo-inverse. Son existence, pour une application linéaire entre espaces de dimension éventuellement infinie, est équivalente à l'existence de supplémentaires du noyau et de l'image. Selon les propriétés demandées, le pseudo-inverse défini permet toutefois de généraliser la notion d'inverse en se restreignant au semi-groupe associatif multiplicatif seul, même s'il ne respecte pas les autres contraintes du corps ou de l'algèbre (en particulier les propriétés de distributivité ou de commutativité ne sont plus vraies dans le cas général, là où le véritable inverse peut les respecter).
Ont été étudiés en particulier les types de pseudo-inverses suivants :
le pseudo-inverse de Moore-Penrose dans le cas des matrices carrées non inversibles, mais généralisable à toute algèbre de matrices à valeurs dans un corps.
le pseudo-inverse de Drazin qui détermine la matrice qui constitue un point fixe dans la multiplication par l'exponentiation de matrices carrées au-delà d'un degré fini.
le pseudo-inverse à gauche et le pseudo-inverse à droite, utiles dans le cas des matrices non carrées qui ne sont jamais inversibles pour déterminer la factorisation en valeurs singulières, et qui ne sont pas nécessairement égaux non plus dans le cas de transformées non commutatives comme les opérateurs fonctionnels et distributions non discrètes.
Le pseudo-inverse se calcule à l’aide d’une généralisation du théorème spectral aux matrices non carrées.
Il est notamment utile dans le calcul de régressions (méthode des moindres carrés) pour un système d'équations linéaires.
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