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Concept
C*-algèbre
Résumé
En mathématiques, une C*-algèbre (complexe) est une algèbre de Banach involutive, c’est-à-dire un espace vectoriel normé complet sur le corps des complexes, muni d'une involution notée , et d'une structure d'algèbre complexe. Elle est également nommée algèbre stellaire. Les C*-algèbres sont des outils importants de la géométrie non commutative. Cette notion a été formalisée en 1943 par Israel Gelfand et Irving Segal.
Les algèbres stellaires sont centrales dans l'étude des représentations unitaires de groupes localement compacts.
Une algèbre stellaire A est une algèbre de Banach complexe :
munie d'une involutionpour tous x, y dans A et tout complexe λ ;
telle que la norme et l'involution sont liées par pour tout x dans A.
Par la seconde condition, et donc, par symétrie, on obtient :
Un -homomorphisme est un morphisme d'algèbres involutives. Il vérifie en particulier
Cette définition — pourtant purement algébrique — implique que f est automatiquement continu, et même 1-lipschitzien : voir plus loin. Si f est injectif alors c'est une isométrie. Si f est bijectif, son inverse est un -homomorphisme ; auquel cas, f est appelé -isomorphisme.
Si X est un espace localement compact, l'algèbre involutive C(X) des fonctions continues de X dans C qui tendent vers zéro à l'infini, munie de la norme de convergence uniforme, est une C-algèbre commutative. Lorsque X est compact, C(X) est donc simplement l'algèbre (unitaire) des fonctions continues de X dans C. Lorsque X n'est pas compact, C(X) n'a pas d'unité mais seulement une unité approchée, dont l'existence résulte du théorème de Tietze-Urysohn.
Si H désigne un espace de Hilbert, toute sous-algèbre fermée pour la norme d'opérateurs de l'algèbre des opérateurs bornés sur H est une C-algèbre, a priori non commutative.
Tout comme pour les opérateurs dans un espace de Hilbert, on peut définir le spectre des éléments d'une C-algèbre. Le spectre de x est l'ensemble de ses valeurs spectrales :
Cette définition suppose que l'algèbre contenant x ait une unité.
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