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Concept
Algèbre de Banach
Résumé
En mathématiques, l'algèbre de Banach est une des structures fondamentales de l'analyse fonctionnelle, portant le nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892-1945).
On explicite cette définition : une algèbre de Banach A sur le corps K = R ou C est un espace vectoriel normé complet sur K (on note la norme) muni d'une loi interne notée multiplicativement, telle que quels que soient x, y, z éléments de A et élément de K :
(associativité) ;
et (bilinéarité) ;
(sous-multiplicativité).
On parle d'algèbre de Banach commutative quand la loi produit est commutative.
Suivant les auteurs, la structure d'algèbre exige ou non la présence d'un élément unité (nécessairement unique). Les termes algèbre unitaire et algèbre non unitaire permettent de différencier les structures. Dans une algèbre de Banach unitaire non nulle, l'élément unité peut toujours être supposé de norme 1, quitte à remplacer la norme par une certaine norme équivalente.
L'ensemble des nombres réels muni de la valeur absolue, de la somme et du produit est une algèbre de Banach réelle et unitaire. De même, l'ensemble des nombres complexes, muni du module, de la somme et du produit est une algèbre de Banach complexe et unitaire. Ces exemples sont fondamentaux.
Si E est un espace de Banach, l'espace L(E) des endomorphismes continus de E, muni de la composition et de la norme d'opérateurs. Si E est de dimension finie n, L(E) s'identifie à l'algèbre de matrices M(K), munie d'une norme matricielle adéquate. M(K) = K (muni de la valeur absolue si K = R et du module si K = C).
Dans l'algèbre L(E) des opérateurs bornés d'un espace de Banach E, l'idéal K(E) des opérateurs compacts. Si E est de dimension finie — et seulement dans ce cas — cette sous-algèbre K(E) est unitaire car égale à L(E).
Pour 1 ≤ p < ∞, l'algèbre normée des opérateurs de p sur un espace de Hilbert (qui sont les opérateurs à trace si p = 1 et les si p = 2) et plus généralement, celle des d'ordre p sur un espace de Banach.
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