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Concept
Boucle de Moufang
Résumé
En mathématiques, une boucle de Moufang est un type particulier de structure algébrique. Elle ressemble à un groupe à de nombreux égards mais n'est pas nécessairement associative. Les boucles de Moufang ont été introduites par la mathématicienne allemande Ruth Moufang en 1935. À une boucle de Moufang lisses, on peut associer une algèbre, son , un peu comme on associe une algèbre de Lie à un groupe de Lie.
Une boucle de Moufang est un quasigroupe dans lequel sont satisfaites les quatre identités équivalentes suivantes pour tous , , dans (le produit dans est noté par juxtaposition) :
Ces identités sont connues sous le nom d'identités de Moufang.
Tout groupe est un quasigroupe associatif et donc une boucle de Moufang.
Les octonions non nuls forment une boucle de Moufang non associative pour la multiplication des octonions.
L'ensemble des octonions de norme un (géométriquement, une sphère de dimension sept dans O) est stable par multiplication et est donc une boucle de Moufang.
L'ensemble des octonions entiers de norme un est une boucle de Moufang finie d'ordre 240.
Les octonions de base et leurs opposés forment une boucle de Moufang finie d'ordre 16.
L'ensemble des octonions déployés inversibles forme une boucle de Moufang non associative, tout comme l'ensemble des octonions déployés de norme un. Plus généralement, l'ensemble des éléments inversibles dans toute algèbre d'octonions sur un corps F est une boucle de Moufang, tout comme l'ensemble des éléments de norme un.
L'ensemble des éléments inversibles d'un anneau alternatif R est une boucle de Moufang appelée boucle des unités de R.
Pour tout corps F, soit M(F) la boucle de Moufang des éléments de norme un dans l'(unique) algèbre des octonions déployés sur F. Soit Z le centre de M(F) et soit e le neutre du produit. Si la caractéristique de F est 2 alors Z = {e}, sinon Z = {±e}. La boucle de Paige sur F est la boucle M*(F) = M(F)/Z. Les boucles de Paige sont des boucles de Moufang simples non associatives. Toutes les boucles de Moufang simples non associatives finies sont des boucles de Paige sur des corps finis.
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