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Concept
Algèbre d'octonions
Résumé
En mathématiques, une algèbre d'octonions sur un corps commutatif est une algèbre non associative de dimension 8 qui généralise l'algèbre des octonions de Cayley.
Dans cet article, K désigne un corps commutatif (de caractéristique quelconque) et les algèbres ne sont pas supposées être associatives ou unitaires et elles sont supposées être de dimension finie.
Par définition, une algèbre d'octonions sur K est une algèbre de composition de dimension 8 sur K. (Voir les propriétés élémentaires, voir l'article sur ces algèbres.)
Ici on va caractériser les algèbres d'octonions comme étant les algèbres unitaires alternatives centrales simples non associatives.
On note A une algèbre sur K.
On dit que A est alternative si, quels que soient les éléments x et y de A, la sous-algèbre de A engendrée par x et y est associative. Il est aussi équivalent de dire que l'application trilinéaire (x, y, z) (xy)z - x(yz) de A3 dans A est alternée. Toute algèbre associative est alternative.
On dit que A est simple si la multiplication de A n'est pas identiquement nulle (il existe x et y dans A tels que xy est non nul) et A et {0} sont les seuls idéaux bilatères de A. (La première condition est satisfaite lorsque A est unitaire et si A est pas réduit à 0.)
On dit que A est absolument simple si, pour tout surcorps commutatif L de K, la L-algèbre L ⊗K A déduite de A par extension des scalaires de K dans L (qui est unitaire et alternative) est simple. Si A est absolument simple, alors A est simple.
On appelle noyau de A l'ensemble des éléments x de A qui s'associent avec tous les éléments de A: quels que soient les éléments y et z de A, (xy)z = x(yz), (yx)z = y(xz) et (yz)x = y(zx). Si A est associative, alors le noyau de A est A. On appelle centre de A l'ensemble des éléments x du noyau de A qui commutent avec tous les éléments de A: xy = yx pour tout élément de A. Si A est unitaire et alternative, on dit que A est centrale (sur K) si le A n'est pas réduite à 0 et si le centre de A est K.1.
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