Équations de Cauchy-Riemann

Les équations de Cauchy-Riemann en analyse complexe, ainsi nommées en l'honneur d'Augustin Cauchy et Bernhard Riemann, sont les deux équations aux dérivées partiellesexprimant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction f = P + i Q (d'une variable complexe, à valeurs complexes) différentiable au sens réel en un point soit différentiable au sens complexe en ce point. En d'autres termes, ce sont les conditions à ajouter à la différentiabilité au sens réel pour obtenir la différentiabilité au sens complexe. Lorsque la fonction est différentiable au sens réel en tout point d'un ouvert, ces équations expriment une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit holomorphe sur cet ouvert. On considère une fonction d'une variable complexe, définie sur un ouvert U du plan complexe C. On utilise ici les notations suivantes : la variable complexe z est notée x + i y, où x, y sont réels ; les parties réelle et imaginaire de f(z) = f(x + i y) sont notées respectivement P(x , y) et Q(x , y), c'est-à-dire : f(z) = P(x , y) + i Q(x , y), où P, Q sont deux fonctions réelles de deux variables réelles. Il est important de remarquer que la condition de C-différentiabilité pour les fonctions de variable complexe est bien plus contraignante que la condition analogue pour les fonctions de variable réelle. La différence est la suivante : dans R, il y a essentiellement deux manières de s'approcher d'un point : à droite, ou à gauche. Une fonction de variable réelle est dérivable en un point si et seulement si le « taux d'accroissement » admet en ce point une limite à droite et une limite à gauche ayant la même valeur (finie) ; dans C, il y a une infinité de manières de s'approcher d'un point ; chacune d'elles doit donner lieu à une limite (finie) du « taux d'accroissement », ces limites étant de plus toutes égales. On dit qu'une fonction est holomorphe sur un ouvert de C si elle est C-différentiable en tout point de cet ouvert. La caractérisation suivante des fonctions holomorphes est une conséquence immédiate du théorème précédent, appliqué en chaque point.