Fonction périodique

En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période. Des exemples de telles fonctions peuvent être obtenus à partir de phénomènes périodiques, comme l'heure indiquée par la petite aiguille d'une horloge, les phases de la lune, etc. thumb|La fonction sinus est périodique de période 2π. Lorsqu'une fonction est périodique, son graphe reproduit de façon répétitive n’importe quelle portion particulière de longueur une période : c'est une propriété d'invariance par translation. Par exemple, la fonction partie fractionnaire qui associe à un nombre réel sa partie fractionnaire définie par Ici, désigne la partie entière de . La fonction est périodique et de période 1. Ainsi nous avons Si une fonction est périodique de période alors pour tout appartenant à l'ensemble de définition de et pour tout entier naturel : Ce résultat se démontre par récurrence. Dans l'exemple précédent, la fonction étant de période 1, nous avons pour tout réel Pour toute fonction définie sur , l’ensemble des tels que est un sous-groupe additif de appelé groupe des périodes de . Lorsque ce groupe est réduit à , la fonction est dite apériodique. Lorsque périodique est continue, ce groupe est fermé dans . Dans ce cas, soit ce groupe est et est constante, soit ce groupe est un sous-groupe discret de : admet une plus petite période . Dans le cas non continu, le groupe des périodes de peut être un sous-groupe dense de : on ne peut plus alors parler de « plus petite période strictement positive ». Par exemple, les périodes de la fonction indicatrice de sont les rationnels qui sont denses dans . Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques et de période 2π. La théorie des séries de Fourier cherche à écrire une fonction périodique arbitraire comme une somme de fonctions trigonométriques. En physique, un mouvement périodique est un mouvement dans lequel la position (ou les positions) d'un système sont exprimables à l'aide de fonctions périodiques du temps, ayant toutes la même période.