In mathematics, Goldie's theorem is a basic structural result in ring theory, proved by Alfred Goldie during the 1950s. What is now termed a right Goldie ring is a ring R that has finite uniform dimension (="finite rank") as a right module over itself, and satisfies the ascending chain condition on right annihilators of subsets of R.
Goldie's theorem states that the semiprime right Goldie rings are precisely those that have a semisimple Artinian right classical ring of quotients. The structure of this ring of quotients is then completely determined by the Artin–Wedderburn theorem.
In particular, Goldie's theorem applies to semiprime right Noetherian rings, since by definition right Noetherian rings have the ascending chain condition on all right ideals. This is sufficient to guarantee that a right-Noetherian ring is right Goldie. The converse does not hold: every right Ore domain is a right Goldie domain, and hence so is every commutative integral domain.
A consequence of Goldie's theorem, again due to Goldie, is that every semiprime principal right ideal ring is isomorphic to a finite direct sum of prime principal right ideal rings. Every prime principal right ideal ring is isomorphic to a matrix ring over a right Ore domain.
This is a sketch of the characterization mentioned in the introduction. It may be found in .
If R be a semiprime right Goldie ring, then it is a right order in a semisimple ring:
Essential right ideals of R are exactly those containing a regular element.
There are no non-zero nil ideals in R.
R is a right nonsingular ring.
From the previous observations, R is a right Ore ring, and so its right classical ring of quotients Qr exists. Also from the previous observations, Qr is a semisimple ring. Thus R is a right order in Qr.
If R is a right order in a semisimple ring Q, then it is semiprime right Goldie:
Any right order in a Noetherian ring (such as Q) is right Goldie.
Any right order in a Noetherian semiprime ring (such as Q) is itself semiprime.
Thus, R is semiprime right Goldie.
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Dans le domaine des mathématiques en théorie des anneaux, un anneau d'Ore est un anneau qui admet un corps de fractions. Pour un anneau commutatif, cette notion est équivalente à la condition que l'anneau soit sans diviseur de zéro (et donc nul ou intègre). Dans le cas général, cette condition reste nécessaire, mais n'est plus suffisante. Il faut adjoindre une condition supplémentaire, la condition d'Ore, introduite par le mathématicien norvégien Øystein Ore en 1931. On distingue les anneaux d'Ore à gauche, à droite et bilatères.
En algèbre, et plus précisément en théorie des anneaux, l'équivalence de Morita est une relation entre anneaux. Elle est nommée d'après le mathématicien japonais Kiiti Morita qui l'a introduite dans un article de 1958. L'étude d'un anneau consiste souvent à explorer la catégorie des modules sur cet anneau. Deux anneaux sont en équivalence de Morita précisément lorsque leurs catégories de modules sont équivalentes. L'équivalence de Morita présente surtout un intérêt dans l'étude des anneaux non commutatifs.
En mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique.