Théorie des anneaux

En mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique. Si la théorie des anneaux considère les anneaux en général, les anneaux commutatifs sont beaucoup mieux compris et ont engendré un grand nombre de résultats spécifiques, aujourd'hui regroupés sous le nom d'algèbre commutative. Le développement plus lent de la théorie générale, englobant également les anneaux non commutatifs, a été surtout motivé par la découverte dans les années 1980 des géométries non commutatives et des groupes quantiques. La théorie des anneaux est née d'une volonté de systématiser des observations sur le comportement de plusieurs constructions algébriques (telles que les quaternions ou les corps de nombres). Si ces structures possèdent des parallèles évidents avec les entiers, par exemple qu'on peut en additionner deux éléments, ou en calculer le produit, des différences importantes ont été identifiées : par exemple l'importance de l'ordre dans la multiplication (pour les quaternions, non commutatifs) ou l'échec de la décomposition en nombres premiers dans certains corps de nombres. L'étude des polynômes, motivée par la géométrie algébrique naissante, pousse Richard Dedekind à introduire un premier concept d'« anneau de nombres » pour capturer les similitudes entre ces structures dans lesquelles on peut ajouter et multiplier. Dedekind emploie le terme Ordnung (« ordre ») qui a aujourd'hui un sens différent.

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Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a

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C'est un cours introductoire dans la théorie d'anneau et de corps.

MATH-488: Algebraic K-theory

Algebraic K-theory, which to any ring R associates a sequence of groups, can be viewed as a theory of linear algebra over an arbitrary ring. We will study in detail the first two of these groups and a

Centralisateur

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le centralisateur d'une partie X d'un groupe G est le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui commutent avec tout élément de X. Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x dans G, noté CG(x) (ou C(x) si le contexte n'est pas ambigu) est, par définition, l'ensemble des éléments de G qui commutent avec x. Cet ensemble est un sous-groupe de G.

Noncommutative ring

In mathematics, a noncommutative ring is a ring whose multiplication is not commutative; that is, there exist a and b in the ring such that ab and ba are different. Equivalently, a noncommutative ring is a ring that is not a commutative ring. Noncommutative algebra is the part of ring theory devoted to study of properties of the noncommutative rings, including the properties that apply also to commutative rings. Sometimes the term noncommutative ring is used instead of ring to refer to an unspecified ring which is not necessarily commutative, and hence may be commutative.

Algèbre commutative

vignette|Propriété universelle du produit tensoriel de deux anneaux commutatifs En algèbre générale, l’algèbre commutative est la branche des mathématiques qui étudie les anneaux commutatifs, leurs idéaux, les modules et les algèbres. Elle est fondamentale pour la géométrie algébrique et pour la théorie algébrique des nombres. David Hilbert est considéré comme le véritable fondateur de cette discipline appelée initialement la « théorie des idéaux ».

Équation de Fermat : Solutions intégrales et entiers gaussiens

Discute de l'équation de Fermat et des propriétés des entiers gaussiens.

Structures algébriques des espaces morphistes MATH-110(a): Advanced linear algebra I

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Théorie des anneaux : sous-anneaux et morphismes MATH-110(a): Advanced linear algebra I

Introduit des sous-anneaux et des morphismes dans la théorie des anneaux, en mettant l'accent sur la stabilité par multiplication.