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Concept
Théorie des anneaux
Résumé
En mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique.
Si la théorie des anneaux considère les anneaux en général, les anneaux commutatifs sont beaucoup mieux compris et ont engendré un grand nombre de résultats spécifiques, aujourd'hui regroupés sous le nom d'algèbre commutative. Le développement plus lent de la théorie générale, englobant également les anneaux non commutatifs, a été surtout motivé par la découverte dans les années 1980 des géométries non commutatives et des groupes quantiques.
La théorie des anneaux est née d'une volonté de systématiser des observations sur le comportement de plusieurs constructions algébriques (telles que les quaternions ou les corps de nombres). Si ces structures possèdent des parallèles évidents avec les entiers, par exemple qu'on peut en additionner deux éléments, ou en calculer le produit, des différences importantes ont été identifiées : par exemple l'importance de l'ordre dans la multiplication (pour les quaternions, non commutatifs) ou l'échec de la décomposition en nombres premiers dans certains corps de nombres.
L'étude des polynômes, motivée par la géométrie algébrique naissante, pousse Richard Dedekind à introduire un premier concept d'« anneau de nombres » pour capturer les similitudes entre ces structures dans lesquelles on peut ajouter et multiplier. Dedekind emploie le terme Ordnung (« ordre ») qui a aujourd'hui un sens différent.
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