Modèle d'évaluation des actifs basé sur la consommation

Le modèle d'évaluation des actifs basé sur la consommation (CAPM de consommation ou CCAPM) décrit les décisions simultanées de consommation et de choix de portefeuille en situation d'incertitude. Dans un cadre de choix intertemporel, les actifs financiers servent à lisser la consommation dans le temps. La fonction d'utilité du consommateur représentatif à la période t est: où u est l'utilité instantanée, la consommation à la période et est le taux subjectif de préférence pour le temps ( est le taux d'escompte subjectif). Le consommateur désire maximiser l'utilité intertemporelle espérée: où désigne l'espérance mathématique au temps t. Les contraintes budgétaires sont: où est l'actif financier j à la période t, n le nombre d'actifs, la fortune du consommateur au début de la période t, le taux de rendement de l'actif j à la période t. En introduisant cette deuxième contrainte dans la fonction d'utilité on peut trouver le maximum en utilisant le lagrangien suivant: où est le multiplicateur de Lagrange. Les conditions de premier ordre pour le maximum sont: où est la dérivée de . En prenant les deux premières équations on obtient: L'utilité marginale d'une unité de consommation à la période t doit être égale à l'utilité marginale espérée d'une unité épargnée donnant un rendement de et consommée à la période t+1. Le modèle devient, en introduisant un actif sans risque et un revenu exogène : sous la contrainte: où est le taux d'intérêt sans risque. En utilisant l'équation de Bellman de la programmation dynamique on peut écrire: où la variable d'état est: Les conditions de premier ordre sont: où est la dérivée par rapport à . En utilisant le théorème de l'enveloppe, on peut écrire ainsi les n premières conditions: On obtient alors: Pour l'actif non risqué on a: La covariance de deux variables aléatoires x,y est: Pour les actifs risqués on peut donc écrire: Ce résultat montre que le choix du consommateur dépend du rendement espéré et de la covariance avec l'utilité marginale de la consommation.