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Concept
Nombres de Feigenbaum
Résumé
En mathématiques, les nombres de Feigenbaum ou constantes de Feigenbaum sont deux nombres réels découverts par le mathématicien Mitchell Feigenbaum en 1975. Tous deux expriment des rapports apparaissant dans les diagrammes de bifurcation de la théorie du chaos.
vignette|droite|Exemple de diagramme de bifurcation (en abscisse, r désigne le paramètre μ).
Les diagrammes de bifurcation concernent les valeurs limites prises par les suites de type où f est une fonction réelle, définie positive et trois fois dérivable sur [0, 1] et possédant un maximum unique sur cet intervalle (c’est-à-dire sans maximum relatif), noté f. Pour une fonction donnée, en dessous d'une certaine valeur de μ, la suite conduit à une limite unique. Au-dessus de cette valeur, mais en dessous d'une autre, la suite finit par osciller entre deux valeurs, puis au-dessus d'une autre valeur, à osciller autour de quatre Les valeurs de μ séparant deux intervalles sont appelées des bifurcations et sont notées μ1, μ2
La première constante de Feigenbaum est définie comme la limite du rapport entre deux intervalles successifs de la bifurcation :
Elle est apparue d'abord dans le cadre de la suite logistique où , initialement étudiée par Feigenbaum ; mais il découvrit très vite que la même constante était obtenue par exemple pour la suite ; des méthodes de calcul plus élaborées permettent d'obtenir
4,6692 ().
Il apparaît finalement que tout système chaotique qui obéit à la description de l'introduction respecte le même ratio limite .
La première constante de Feigenbaum peut être utilisée pour prédire quand le chaos arrivera dans un tel système.
L'ensemble de Mandelbrot contient la représentation de la cascade de bifurcations de la suite logistique sur l'axe réel. En effet, la détermination de l'ensemble de Mandelbrot consiste en l'étude de la version étendue aux nombres complexes de la suite logistique.
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