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Concept
Inversion (géométrie)
Résumé
En géométrie, une inversion est une transformation qui inverse les distances par rapport à un point donné, appelé centre de l'inversion. Cela signifie en substance que l' d'un point est d'autant plus éloignée du centre de l'inversion que le point d'origine en est proche. Selon une phrase célèbre, .
Soient un espace affine euclidien, un point de et un réel non nul.
Soit la sphère de centre et de rayon .
Une inversion de rapport non nul est bijective.
Une inversion est une involution : elle est sa propre bijection réciproque.
L'inversion par rapport à une sphère laisse les points de la sphère fixes, et les points intérieurs et extérieurs sont échangés. L'inversion est la version « sphérique » de la réflexion.
On appelle sphère d’inversion (ou cercle d’inversion dans le plan) la sphère de centre et de rayon . Elle est toujours globalement invariante, et elle est fixe (invariante point par point) lorsque le rapport est positif. Toute inversion de rapport positif est l'inversion par rapport à sa sphère d’inversion.
Les hyperplans passant par sont aussi des invariants globaux.
Le principal intérêt des inversions est la transformation d'hyperplans (droites) en hypersphères (cercles) et réciproquement, tout en préservant les angles :
Ainsi si dans le plan , et sont les images respectives de , et par une inversion de centre de rapport non nul, alors , et sont alignés si et seulement si ,, et sont cocycliques, ce qui est la raison profonde de l'égalité et de l'inégalité de Ptolémée.
Ainsi par exemple deux droites ne passant pas par sont perpendiculaires si et seulement si leurs cercles images le sont (deux cercles étant dits perpendiculaires si leurs tangentes aux points d'intersection le sont).
Si et sont les images respectives de et par une inversion de centre de rapport (), alors on a la relation entre les distances
vignette|upright=1.5|Inverseur de Peaucellier.
Source officielle
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