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Concept
Point adhérent
Résumé
En mathématiques et plus précisément en topologie, un point adhérent à une partie A d'un espace topologique E est un élément de l'adhérence de A, c'est-à-dire un point x de E tel que tout voisinage de x rencontre A (i.e. est non disjoint de A) ou encore : tout ouvert contenant x rencontre A. Tous les points de A sont adhérents à A ; d'autres points de E peuvent aussi, selon le cas, être adhérents à A.
La notion de point adhérent à un ensemble A n'est pas intrinsèque, en ce sens qu'elle dépend de l'espace topologique dont A est vu comme sous-ensemble.
Un point de E est non adhérent à A si et seulement s'il est intérieur à E\A. Un tel point est dit extérieur à A.
Dans R, 1 est adhérent à l'intervalle ]0, 1[.
Plus généralement, dans R, les bornes supérieure et inférieure d'un ensemble borné non vide sont adhérentes à cet ensemble.
La limite d'une suite ou d'une fonction est adhérente à l'.
Tout élément de A est adhérent à A.
Si la topologie de E est discrète, seuls les points de A sont adhérents à A.
Si la topologie de E est grossière et si A est non vide, tout point de E est adhérent à A.
On dit qu'un point x de E est un point limite de A si tout voisinage de x contient au moins un élément de A autre que x. Autrement dit, x est un point limite de A si x est adhérent à A{x}.
Selon les auteurs (cf. section suivante), l'ensemble dérivé de A, noté A' , désigne :
soit l'ensemble des points limites de A ;
soit l'ensemble des points d'accumulation de A ;
soit les deux lorsqu'ils sont identiques.
Un point de l'adhérence qui n'est pas dans A est automatiquement un point limite de A, donc :
et A est fermé si et seulement s'il contient tous ses points limites.
Dans un espace T1, A' est fermé :
Un point de A qui n'est pas un point limite de A est appelé point isolé de A.
Une partie dont tous les points sont isolés est appelée partie discrète. En effet, la topologie induite sur A par la topologie de E est discrète si et seulement si tout point de A est isolé.
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Concepts associés (3)
Point d'accumulation (mathématiques)
En mathématiques, un point d'accumulation d'une partie A d'un espace topologique E est un point x de E qui peut être « approché » par des points de A au sens où chaque voisinage de x – pour la topologie de E – contient un point de A distinct de x. Un tel point x n'est pas nécessairement un point de A. Ce concept généralise la notion de limite, et permet de définir des notions comme les espaces fermés et l'adhérence. De fait, pour qu'un espace soit fermé, il faut et il suffit qu'il contienne tous ses points d'accumulation.
Point adhérent
En mathématiques et plus précisément en topologie, un point adhérent à une partie A d'un espace topologique E est un élément de l'adhérence de A, c'est-à-dire un point x de E tel que tout voisinage de x rencontre A (i.e. est non disjoint de A) ou encore : tout ouvert contenant x rencontre A. Tous les points de A sont adhérents à A ; d'autres points de E peuvent aussi, selon le cas, être adhérents à A. La notion de point adhérent à un ensemble A n'est pas intrinsèque, en ce sens qu'elle dépend de l'espace topologique dont A est vu comme sous-ensemble.
Adhérence (mathématiques)
En topologie, l'adhérence d'une partie d'un espace topologique est le plus petit ensemble fermé contenant cette partie. Lorsque l'espace est métrisable, c'est aussi l'ensemble des limites de suites convergentes à valeurs dans cette partie. Dans un espace topologique E, l'adhérence d'une partie X, notée , est le « plus petit » (au sens de l'inclusion) fermé contenant X. L'existence d'un tel fermé est claire : il existe au moins un fermé contenant X, à savoir l'espace E lui-même ; d'autre part, l'intersection de tous les fermés contenant X est un fermé contenant X, et est le plus petit ayant cette propriété.