Point adhérent

En mathématiques et plus précisément en topologie, un point adhérent à une partie A d'un espace topologique E est un élément de l'adhérence de A, c'est-à-dire un point x de E tel que tout voisinage de x rencontre A (i.e. est non disjoint de A) ou encore : tout ouvert contenant x rencontre A. Tous les points de A sont adhérents à A ; d'autres points de E peuvent aussi, selon le cas, être adhérents à A. La notion de point adhérent à un ensemble A n'est pas intrinsèque, en ce sens qu'elle dépend de l'espace topologique dont A est vu comme sous-ensemble. Un point de E est non adhérent à A si et seulement s'il est intérieur à E\A. Un tel point est dit extérieur à A. Dans R, 1 est adhérent à l'intervalle ]0, 1[. Plus généralement, dans R, les bornes supérieure et inférieure d'un ensemble borné non vide sont adhérentes à cet ensemble. La limite d'une suite ou d'une fonction est adhérente à l'. Tout élément de A est adhérent à A. Si la topologie de E est discrète, seuls les points de A sont adhérents à A. Si la topologie de E est grossière et si A est non vide, tout point de E est adhérent à A. On dit qu'un point x de E est un point limite de A si tout voisinage de x contient au moins un élément de A autre que x. Autrement dit, x est un point limite de A si x est adhérent à A{x}. Selon les auteurs (cf. section suivante), l'ensemble dérivé de A, noté A' , désigne : soit l'ensemble des points limites de A ; soit l'ensemble des points d'accumulation de A ; soit les deux lorsqu'ils sont identiques. Un point de l'adhérence qui n'est pas dans A est automatiquement un point limite de A, donc : et A est fermé si et seulement s'il contient tous ses points limites. Dans un espace T1, A' est fermé : Un point de A qui n'est pas un point limite de A est appelé point isolé de A. Une partie dont tous les points sont isolés est appelée partie discrète. En effet, la topologie induite sur A par la topologie de E est discrète si et seulement si tout point de A est isolé.