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Concept
Point adhérent
Résumé
En mathématiques et plus précisément en topologie, un point adhérent à une partie A d'un espace topologique E est un élément de l'adhérence de A, c'est-à-dire un point x de E tel que tout voisinage de x rencontre A (i.e. est non disjoint de A) ou encore : tout ouvert contenant x rencontre A. Tous les points de A sont adhérents à A ; d'autres points de E peuvent aussi, selon le cas, être adhérents à A.
La notion de point adhérent à un ensemble A n'est pas intrinsèque, en ce sens qu'elle dépend de l'espace topologique dont A est vu comme sous-ensemble.
Un point de E est non adhérent à A si et seulement s'il est intérieur à E\A. Un tel point est dit extérieur à A.
Dans R, 1 est adhérent à l'intervalle ]0, 1[.
Plus généralement, dans R, les bornes supérieure et inférieure d'un ensemble borné non vide sont adhérentes à cet ensemble.
La limite d'une suite ou d'une fonction est adhérente à l'.
Tout élément de A est adhérent à A.
Si la topologie de E est discrète, seuls les points de A sont adhérents à A.
Si la topologie de E est grossière et si A est non vide, tout point de E est adhérent à A.
On dit qu'un point x de E est un point limite de A si tout voisinage de x contient au moins un élément de A autre que x. Autrement dit, x est un point limite de A si x est adhérent à A{x}.
Selon les auteurs (cf. section suivante), l'ensemble dérivé de A, noté A' , désigne :
soit l'ensemble des points limites de A ;
soit l'ensemble des points d'accumulation de A ;
soit les deux lorsqu'ils sont identiques.
Un point de l'adhérence qui n'est pas dans A est automatiquement un point limite de A, donc :
et A est fermé si et seulement s'il contient tous ses points limites.
Dans un espace T1, A' est fermé :
Un point de A qui n'est pas un point limite de A est appelé point isolé de A.
Une partie dont tous les points sont isolés est appelée partie discrète. En effet, la topologie induite sur A par la topologie de E est discrète si et seulement si tout point de A est isolé.
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