Adhérence (mathématiques)

En topologie, l'adhérence d'une partie d'un espace topologique est le plus petit ensemble fermé contenant cette partie. Lorsque l'espace est métrisable, c'est aussi l'ensemble des limites de suites convergentes à valeurs dans cette partie. Dans un espace topologique E, l'adhérence d'une partie X, notée , est le « plus petit » (au sens de l'inclusion) fermé contenant X. L'existence d'un tel fermé est claire : il existe au moins un fermé contenant X, à savoir l'espace E lui-même ; d'autre part, l'intersection de tous les fermés contenant X est un fermé contenant X, et est le plus petit ayant cette propriété. Un point x de E est dit « adhérent » à X s'il appartient à . On verra plus bas une définition équivalente de la notion de point adhérent, qui fournira donc une définition équivalente de l'adhérence. Une partie est fermée si et seulement si elle est égale à son adhérence. Ainsi, pour la topologie discrète sur E, l'adhérence d'une partie X est égale à X. À l'opposé, pour la topologie grossière sur E, dont les fermés sont l'ensemble vide et E, l'adhérence de toute partie non vide est égale à E. L'adhérence d'une partie dense (cf. § ci-dessous) est par définition l'espace tout entier. L'adhérence d'un intervalle de R est l'intervalle fermé de mêmes bornes : l'adhérence de ]–∞, a[ est l'intervalle ]–∞, a]. L'adhérence est un opérateur de clôture : Dans un espace métrique, l'adhérence d'une partie est l'ensemble des points à distance nulle de cette partie. Autrement dit, l'adhérence d'un ensemble est l'intersection des voisinages de . Dans un espace métrique, l'adhérence de toute boule ouverte est incluse dans la boule fermée de même centre et de même rayon. Dans un espace vectoriel normé muni de la distance ║x – y║, on a égalité. Mais dans un espace métrique quelconque, l'inclusion peut être stricte. Par exemple pour la topologie discrète sur un ensemble E, toute partie est égale à son adhérence. Or cette topologie est induite par la distance discrète (définie par : d(x, y) = 1 si x ≠ y, et d(x, x) = 0), pour laquelle les boules ouvertes de rayon 1 sont les singletons, tandis que toute boule fermée de rayon 1 est égale à E.