Tétraèdre équifacial
En géométrie, un tétraèdre équifacial, ou disphénoïde (du grec sphenoeides, « en forme de coin »), est un tétraèdre (non plan) dont les quatre faces sont des triangles isométriques. Une condition équivalente est que les arêtes opposées soient de même longueur. Il a été signalé dans les Annales de Gergonne dès 1810, puis beaucoup étudié par les géomètres des s. Le tétraèdre régulier est équifacial mais un tétraèdre équifacial peut avoir des arêtes de trois longueurs différentes. Le tétraèdre équifacial est invariant par les trois demi-tours d'axes les bimédianes (joignant les milieux de deux arêtes opposées), qui sont aussi les bihauteurs (perpendiculaires communes à deux arêtes opposées) , et concourent en un point O. Ce point est donc à la fois centre de la sphère circonscrite et de la sphère inscrite, et centre de gravité des quatre sommets du tétraèdre. vignette|300x300px|Patron du tétraèdre équifacial. Tous ses angles solides et les figures de sommet sont identiques, et la somme des mesures en degrés des angles des faces arrivant à chaque sommet est égale à 180°. Les longueurs des six arêtes d'un tétraèdre équifacial ont trois valeurs , et les angles des faces, trois valeurs , angles en de la face . D'après l'inégalité triangulaire sur les angles arrivant à un même sommet, , donc : les angles des faces sont strictement aigus . Son parallélépipède circonscrit (dont les trois paires de faces parallèles sont incluses dans les paires de plans parallèles contenant deux arêtes opposées - voir ci-contre) est rectangle.vignette|Un tétraèdre ABCD et son parallélépipède circonscrit. a pour coordonnées barycentriques dans , et ainsi de suite. Le carré de la longueur du côté de ce parallélépipède, longueur qui est aussi celle de la bimédiane joignant à dans le tétraèdre, est ; on obtient les autres par permutations . Ceci confirme que les angles sont aigus. L'un des deux patrons du tétraèdre équifacial est un triangle aigu d'angles et de longueurs de côtés , divisé en quatre triangles semblables par des segments reliant les milieux des côtés.