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Concept
Matrice de rotation
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice de rotation Q est une matrice orthogonale de déterminant 1, ce qui peut s'exprimer par les équations suivantes :
QtQ = I = QQt et
det Q = 1, où Qt est la matrice transposée de Q, et I est la matrice identité.
Ces matrices sont exactement celles qui, dans un espace euclidien, représentent les isométries (vectorielles) directes. Ces dernières sont aussi appelées rotations vectorielles (d'où le nom de « matrice de rotation »), parce qu'en dimension 2 et 3, elles correspondent respectivement aux rotations affines planes autour de l'origine et aux rotations affines dans l'espace autour d'un axe passant par l'origine.
En dimension 3, ces matrices sont utilisées intensivement pour les calculs de géométrie, de physique et en infographie.
L'ensemble de toutes les matrices de rotation de taille fixée forme un groupe appelé groupe des rotations ou groupe spécial orthogonal. C'est un sous-groupe du groupe orthogonal.
Une propriété caractéristique des rotations du plan ou de l'espace est de conserver le caractère orthonormé direct des repères. Traduisant cela dans le langage des matrices, on démontre que la matrice d'une application linéaire qui conserve les angles et les distances (une isométrie vectorielle) doit être orthogonale, c'est-à-dire que son inverse est égale à sa transposée : . De plus, la conservation de l'orientation se traduit par la formule . Les matrices vérifiant ces propriétés sont appelées matrices de rotation.
Le produit de deux matrices de rotation est une matrice de rotation :
Pour n plus grand que 2, la multiplication de matrices de rotation n×n n'est pas commutative.
Remarquant que toute matrice identité est une matrice de rotation, et que la multiplication des matrices est associative, on peut résumer ces propriétés en disant que les matrices de rotation n×n forment un groupe, qui pour n > 2 est non abélien.
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