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Concept
Fibré de Clifford
Résumé
En mathématiques, le fibré de Clifford est un concept de géométrie différentielle qui permet d'étendre la notion d'algèbre de Clifford au cadre des variétés riemanniennes orientées, donc d'espaces « courbes » munis d'une métrique. De même que l'algèbre de Clifford, le fibré de Clifford offre un cadre de calcul utile pour introduire les concepts de géométrie spinorielle.
Un concept apparenté porte un nom très proche : un fibré en modules de Clifford est un fibré vectoriel dont les fibres portent une structure de module de Clifford, c'est-à-dire forment un espace de représentation du fibré de Clifford. Cela inclut le fibré de Clifford lui-même, les éventuels fibrés de spineurs, et cela donne un cadre convenable pour définir le concept général d'opérateur de Dirac.
Soit X une variété riemannienne orientée. On peut considérer le fibré des p-multivecteurs, c'est-à-dire tenseurs d'ordre (p,0) : .
On peut définir le fibré de Clifford exactement comme on définit l'algèbre, c'est-à-dire l'espace obtenu en
considérant une loi produit sur les multivecteurs de tous ordres telle que
toutes les expressions soient nulles.
Formellement, le fibré est donc un espace quotient du fibré des tenseurs par le fibré des idéaux engendrés par les éléments de la forme :
Et de façon plus générale, on parle de fibré de Clifford d'un fibré riemannien orienté E : on reprend la même définition avec des puissances tensorielles de E au lieu de TM.
Une autre définition possible du fibré de Clifford est de dire qu'il s'agit du fibré associé à la représentation ordinaire du groupe spécial orthogonal dans l'algèbre de Clifford .
Le fibré ainsi construit possède, fibre à fibre, une structure d'algèbre de Clifford. La Z2-graduation subsiste, qui permet de décomposer le fibré en fonction de la parité
On retrouve également un isomorphisme canonique avec l'algèbre extérieure, et donc une Z-graduation
en tant que fibré vectoriel.
La connexion de Levi-Civita associée à la métrique offre un moyen canonique de dériver vecteurs et tenseurs : il lui est associé une connexion canonique sur le fibré de Clifford, qui respecte la Z-graduation et la Z2-graduation.
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