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Concept
Algèbre de Clifford
Résumé
En mathématiques, l'algèbre de Clifford est un objet d'algèbre multilinéaire associé à une forme quadratique. C'est une algèbre associative sur un corps, permettant un type de calcul étendu, englobant les vecteurs, les scalaires et des « multivecteurs » obtenus par produits de vecteurs, et avec une règle de calcul qui traduit la géométrie de la forme quadratique sous-jacente.
Le nom de cette structure est un hommage au mathématicien anglais William Kingdon Clifford.
Les algèbres de Clifford constituent l'une des généralisations possibles des nombres complexes et des quaternions. En mathématiques, elles offrent un cadre unificateur pour étudier des problèmes de géométrie tels que la théorie des formes quadratiques, et les groupes orthogonaux et introduire les spineurs et la . Mais elles fournissent aussi un cadre de calcul pertinent à de nombreux domaines physiques, des plus théoriques (relativité, mécanique quantique) aux plus appliqués (vision par ordinateur, robotique). Pour ces applications, une approche simplifiée est parfois pratiquée, avec une introduction différente, limitée aux corps des réels et complexes, ce qui conduit à la structure très proche d'algèbre géométrique.
Une certaine familiarité avec les bases de l'algèbre multilinéaire sera très utile à la lecture de cet article.
De nombreux résultats supposent que la caractéristique du corps de base K n'est pas 2 (c'est-à-dire que la division par 2 est possible) ; on fait cette hypothèse dans toute la suite, sauf dans une section dédiée au cas particulier de la caractéristique 2.
Une algèbre de Clifford est une algèbre associative unitaire associée à un espace vectoriel V muni d'une forme quadratique Q.
On note < , > la forme bilinéaire symétrique associée à Q :
L'algèbre de Clifford Cl(V,Q) est l'algèbre « la plus générale » engendrée par V, c'est-à-dire constituée de toutes les formules de sommes et produits de scalaires et vecteurs imaginables, soumises à la condition
pour tout vecteur dans
où le produit est pris à l'intérieur de l'algèbre et où est un scalaire, multiple de l'unité de l'algèbre.
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