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Concept
Fonction de Heaviside
Résumé
En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon unité, fonction marche d'escalier), du nom d’Oliver Heaviside, est la fonction indicatrice de .
C'est donc la fonction H (discontinue en 0) prenant la valeur 1 pour tous les réels strictement positifs et la valeur 0 pour les réels strictement négatifs. En 0, sa valeur n'a généralement pas d'importance, même si souvent elle vaut 1/2.
C'est une primitive de la distribution de Dirac en théorie des distributions. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale. Certains auteurs donnent H(0) = 0, d'autres H(0) = 1. La valeur H(0) = 0,5 est souvent utilisée, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique. La définition est alors :
La valeur de la fonction en 0 est parfois notée avec un indice : la fonction Ha satisfait l'égalité Ha(0) = a pour a un réel quelconque.
La fonction est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et en le maintenant fermé indéfiniment.
La dérivée au sens des distributions de la fonction de Heaviside est la distribution de Dirac : .
En effet, en partant tout d'abord de l'expression de la dérivation au sens des distributions :
En appliquant ceci à l'échelon de Heaviside, nous obtenons :
Une primitive de est .
Nous avons alors :
Or, , l'espace des fonctions test sur , donc .
D'où on déduit l'expression de la dérivée de l'échelon de Heaviside (au sens des distributions) :
par définition de l'impulsion de Dirac, .
Une primitive (au sens des distributions) de la fonction de Heaviside est la fonction rampe . En effet,
La fonction de Heaviside est parfois utilisée pour modéliser des phénomènes variant rapidement. Toutefois, un phénomène est rarement discontinu et l'introduction d'une fonction de Heaviside dans les équations de comportement donne parfois des résultats aberrants.
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