Accélération de suite

En mathématiques, laccélération de suite est une méthode de transformation de suites ou de série numérique visant à améliorer la vitesse de convergence d'une série. Des techniques d'accélération sont souvent utilisées en analyse numérique, afin d'améliorer la rapidité de méthodes d'intégration numérique ou obtenir des identités sur des fonctions spéciales. Par exemple, la transformation d'Euler appliquée à la série hypergéométrique permet de retrouver plusieurs identités connues. On considère une suite de limite alors une suite accélérée est une deuxième suite qui converge plus vite vers que la première, ce qui se traduit par : Si la suite S diverge, la transformation agit comme une méthode d'extrapolation vers l'antilimite . Les prolongements de la série originale vers la transformée peuvent être linéaires ou non. En général, les transformations non linéaires ont tendance à être plus efficaces. Les techniques classiques d'accélération de séries sont les transformations d'Euler (ou binomiale) et de , et les méthodes de sommation (Césàro, Hölder, Toeplitz...), qui ont pour avantage d'être linéaires. Une variété de méthodes plus rapides et spéciales ont été développées au , dont l'extrapolation de Richardson, introduite par Lewis Fry Richardson au début du mais aussi connue et utilisée par Katahiro Takebe en 1722, la méthode delta-2 d'Aitken, introduite par Alexander Aitken en 1926 mais aussi connue de Takakazu Seki au , l'epsilon algorithme de Peter Wynn en 1956, la transformation en u de Levin et la méthode de Wilf-Zeilberger-Ekhad utilisant des identités hypergéométriques. Pour les séries alternées, plusieurs techniques puissantes, donnant des vitesses de convergence de 5,828 jusqu'à 17,93 pour une sommation de n termes, décrites par Cohen et al.. Un exemple historique d'accélération de série a été appliquée au calcul de la constante d'Euler-Mascheroni : Ces séries convergent très lentement (seuls trois décimales exactes après calcul du terme). La formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction logarithme permet d'obtenir l'égalité : avec b, les nombres de Bernoulli.

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Transformation de suite

En mathématiques, une transformation de suite est un opérateur défini sur un espace donné de suites (un espace de suites). Les transformations de suites comptent des applications linéaires telles que la convolution avec une autre suite et la sommation d'une suite et, plus généralement, sont définies pour l'accélération de suites et de séries, qui vise à augmenter la vitesse de convergence d'une suite ou d'une série à convergence lente.

Extrapolation de Richardson

En analyse numérique, le procédé d'extrapolation de Richardson est une technique d'accélération de la convergence. Il est ainsi dénommé en l'honneur de Lewis Fry Richardson, qui l'a popularisé au début du . Les premières utilisations remontent à Huygens en 1654 et Takebe Kenkō en 1723, pour l'évaluation numérique de π. Ce procédé est notamment utilisé pour définir une méthode numérique d'intégration : la méthode de Romberg, accélération de la méthode des trapèzes.

Fixed-point iteration

In numerical analysis, fixed-point iteration is a method of computing fixed points of a function. More specifically, given a function defined on the real numbers with real values and given a point in the domain of , the fixed-point iteration is which gives rise to the sequence of iterated function applications which is hoped to converge to a point . If is continuous, then one can prove that the obtained is a fixed point of , i.e., More generally, the function can be defined on any metric space with values in that same space.

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