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Concept
Extrapolation de Richardson
Résumé
En analyse numérique, le procédé d'extrapolation de Richardson est une technique d'accélération de la convergence. Il est ainsi dénommé en l'honneur de Lewis Fry Richardson, qui l'a popularisé au début du . Les premières utilisations remontent à Huygens en 1654 et Takebe Kenkō en 1723, pour l'évaluation numérique de π.
Ce procédé est notamment utilisé pour définir une méthode numérique d'intégration : la méthode de Romberg, accélération de la méthode des trapèzes.
On suppose que la quantité inconnue A peut être approchée par une fonction A(h) avec une convergence d'ordre n en h
expression dans laquelle le coefficient an n'est pas connu. Le principe d'extrapolation consiste à supprimer le terme en hn par combinaison linéaire de deux valeurs de A(h), calculés avec des h différents : par exemple A(h) et A(h/2). On obtient :
R(h) est l'extrapolé de Richardson qui approche A à l'ordre m>n en h. Le facteur 2 peut être remplacé par n'importe quel autre facteur. L'intérêt de la méthode est qu'il sera fréquemment plus aisé d'obtenir une précision donnée en calculant R(h) que A(h) avec un h beaucoup plus petit (risque d'erreur d'arrondi, grande quantité de calcul ...).
On suppose que l'on dispose d'une approximation de A avec une formule d'erreur de cette forme
les coefficients étant inconnus. On se fixe un paramètre réel r>1 et on forme une combinaison entre la relation précédente et cette même relation prise au point
Le terme en hk0 a disparu. Cette formule peut être itérée pour augmenter l'ordre, en évaluant A(h) successivement aux points .
Pour les formules d'erreur pouvant être exprimé sous la forme
avec une fonction connue telle que , un algorithme d'interpolation polynomial (par exemple l'algorithme d'Aitken-Neville) peut être utilisé. Dans ce cas, la suite des subdivisions hn n'a pas nécessité d'être en progression géométrique.
Dans ce cas, le résultat de l'extrapolation de Richardson s'obtient en calculant la valeur en zéro du polynôme d'interpolation passant par les points , où les hi forment une suite décroissant vers 0.
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