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Concept
Groupe complet
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, un groupe G est dit complet si son centre est réduit à l'élément neutre et tous les automorphismes de G sont intérieurs.
On démontre que les groupes symétriques Sn sont complets sauf si n est égal à 2 ou à 6. (Dans le cas n = 2, le centre de Sn n'est pas réduit à l'élément neutre et dans le cas n = 6, Sn admet un automorphisme extérieur.) Compte tenu du théorème de Cayley, il en résulte que tout groupe fini peut être plongé dans un groupe complet.
On démontre que le groupe des automorphismes d'un groupe simple non abélien est un groupe complet.
Un groupe G est complet si et seulement si l'homomorphisme canonique de G dans le groupe Aut(G) des automorphismes de G est un isomorphisme. (Il est injectif lorsque le centre de G est réduit à l'élément neutre et il est surjectif lorsque tout automorphisme de G est intérieur.)
Il en résulte qu'un groupe complet est toujours isomorphe au groupe de ses automorphismes.
La réciproque de l'énoncé précédent n'est pas vraie, en ce sens qu'un groupe peut être isomorphe au groupe de ses automorphismes sans être complet. C'est le cas du groupe diédral d'ordre 8 et de celui d'ordre 12. En effet, pour n égal à 3, 4 ou 6, le groupe des automorphismes du groupe diédral D (d'ordre 2n) est isomorphe à D. Pourtant, pour n pair, D2n n'est pas complet car, par exemple, son centre n'est pas réduit à l'unité (il est d'ordre 2).
Si un groupe complet K est sous-groupe normal d'un groupe G, alors G est produit direct de K et du centralisateur C(K) de K dans G.
Il résulte de l'énoncé précédent qu'un groupe complet est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal. Cette propriété caractérise les groupes complets : si un groupe K est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal, K est complet. (On le démontre assez facilement en utilisant le fait que, d'après les hypothèses, K est facteur direct de son holomorphe.)
On montre facilement que si le centre d'un groupe G est réduit à l'élément neutre, le centre de Aut(G) est lui aussi réduit à l'élément neutre.
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