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Concept
Groupe symétrique
Résumé
En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même. N'est traité dans le présent article, à la suite de la définition générale, que le cas E fini.
Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note S(E) ou (ce caractère est un S gothique).
Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini {1, 2, ... , n}, n étant un entier naturel ; on note alors ou S le groupe symétrique de cet ensemble. Les éléments de sont appelés permutations et est appelé groupe des permutations de degré n ou groupe symétrique d'indice n (un sous-groupe du groupe symétrique est appelé un groupe de permutations).
Si deux ensembles sont équipotents alors leurs groupes symétriques sont isomorphes. En effet, si f est une bijection de E dans F, alors l'application de S(E) dans S(F) qui à σ associe f∘σ∘f est un isomorphisme. En particulier si E est un ensemble fini à n éléments, alors est isomorphe à . En conséquence, il suffit de connaître les propriétés du groupe pour en déduire celles du groupe . C'est pourquoi la suite de cet article ne portera que sur .
vignette|Triangle équilatéral et ses médianes
Les six isométries du groupe de symétrie d'un triangle équilatéral ABC sont les trois symétries par rapport aux médianes , et issues de respectivement les sommets A, B et C, deux rotations d'un tiers de tour dans le sens horaire ou anti-horaire et l'application identité. Elles se restreignent en six permutations des trois sommets, constituant le groupe S({A, B, C}) :
id, x = (B C), y = (A C), z = (A B), r = (A B C) et r = (C B A).
La table de Cayley de ce groupe est :
Historiquement, l'étude du groupe des permutations des racines d'un polynôme par Évariste Galois est à l'origine du concept de groupe.
Un théorème de Cayley assure que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique.
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