Groupe symétrique | EPFL Graph Search

Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?

Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.

Découvrez-en plus sur les applications Graph.

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même. N'est traité dans le présent article, à la suite de la définition générale, que le cas E fini. Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note S(E) ou (ce caractère est un S gothique). Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini {1, 2, ... , n}, n étant un entier naturel ; on note alors ou S le groupe symétrique de cet ensemble. Les éléments de sont appelés permutations et est appelé groupe des permutations de degré n ou groupe symétrique d'indice n (un sous-groupe du groupe symétrique est appelé un groupe de permutations). Si deux ensembles sont équipotents alors leurs groupes symétriques sont isomorphes. En effet, si f est une bijection de E dans F, alors l'application de S(E) dans S(F) qui à σ associe f∘σ∘f est un isomorphisme. En particulier si E est un ensemble fini à n éléments, alors est isomorphe à . En conséquence, il suffit de connaître les propriétés du groupe pour en déduire celles du groupe . C'est pourquoi la suite de cet article ne portera que sur . vignette|Triangle équilatéral et ses médianes Les six isométries du groupe de symétrie d'un triangle équilatéral ABC sont les trois symétries par rapport aux médianes , et issues de respectivement les sommets A, B et C, deux rotations d'un tiers de tour dans le sens horaire ou anti-horaire et l'application identité. Elles se restreignent en six permutations des trois sommets, constituant le groupe S({A, B, C}) : id, x = (B C), y = (A C), z = (A B), r = (A B C) et r = (C B A). La table de Cayley de ce groupe est : Historiquement, l'étude du groupe des permutations des racines d'un polynôme par Évariste Galois est à l'origine du concept de groupe. Un théorème de Cayley assure que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique.

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (14)

In this thesis, we investigate the inverse problem of trees and barcodes from a combinatorial, geometric, probabilistic and statistical point of view.Computing the persistent homology of a merge tree

EPFL2022

From Trees to Barcodes and Back Again: Theoretical and Statistical Perspectives

Kathryn Hess Bellwald, Lida Kanari, Adélie Eliane Garin

Methods of topological data analysis have been successfully applied in a wide range of fields to provide useful summaries of the structure of complex data sets in terms of topological descriptors, su

2020

Maximal subgroups acting with two composition factors on irreducible representations of exceptional algebraic groups

Nathan Scheinmann

Let

Y

be a simply connected simple algebraic group over an algebraically closed field

k

of characteristic

p

and let

X

be a maximal closed connected simple subgroup of

Y

. Excluding some smal

EPFL2019

Afficher plus

Personnes associées (1)

Donna Testerman

Concepts associés (145)

Cours associés (32)

Séances de cours associées (265)

MOOCs associés (10)

Algèbre Linéaire (Partie 1)

Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.

Algèbre Linéaire (Partie 1)

Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.

Algèbre Linéaire (Partie 2)

Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.

Afficher plus

MATH-506: Topology IV.b - cohomology rings

Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a

MATH-486: Statistical mechanics and Gibbs measures

This course provides a rigorous introduction to the ideas, methods and results of classical statistical mechanics, with an emphasis on presenting the central tools for the probabilistic description of

MATH-113: Algebraic structures

Le but de ce cours est d'introduire et d'étudier les notions de base de l'algèbre abstraite.

Groupes automorphistes d'arbres et de graphiques

Explore les automorphismes des graphiques, en se concentrant sur les groupes d'automorphisme, les graphiques Cayley-Abels et la quasi-isométrie.

Groupes d'automorphisme : Arbres et graphiques III

Explore des groupes d'arbres et de graphiques d'automorphisme, y compris des actions sur les arbres et des homomorphismes de groupe.

Groupes d'arbres et graphiques d'automorphisme II

Explore l'unicité des arbres, des groupes d'automorphisme, des graphiques Cayley-Abels et la construction de sous-groupes vertex-transitifs avec des actions locales prescrites.

En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres. Soit G un groupe, noté multiplicativement. Son centre Z est Dans G, Z est un sous-groupe normal — comme noyau du morphisme de groupes ι ci-dessous — et même un sous-groupe caractéristique. Tout sous-groupe de Z est sous-groupe normal de G. Z est abélien. Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire : Z = G. Le centre du groupe alterné A est trivial pour n ≥ 4.

En mathématiques, en algèbre dans un groupe G, le groupe dérivé, noté D(G) ou [G, G], est le plus petit sous-groupe normal pour lequel le groupe quotient G/[G, G] est abélien. Le groupe dérivé de G est trivial si et seulement si le groupe G est abélien. Le groupe quotient de G par son groupe dérivé est l'abélianisé de G. Le procédé d'abélianisation permet souvent de prouver que deux groupes ne sont pas isomorphes. Il intervient aussi en géométrie.