Contraintes de première et deuxième classe

Une contrainte de première classe est une quantité dynamique dans un système Hamiltonien avec contraintes dont le crochet de Poisson avec toutes les autres contraintes s'annule sur la surface de contraintes dans l'espace de phase (la surface de contraintes est l'ensemble des points où toutes les contraintes s'annulent simultanément dans l'espace de phase). Une contrainte de deuxième classe est une contrainte qui possède au moins un crochet de Poisson non-nul (sur la surface de contraintes) avec les autres contraintes. On commence avec une action décrivant une particule Newtonienne de masse , contrainte de bouger sur la surface d'une sphère de rayon plongée dans un champ gravitationnel uniforme . En mécanique Lagrangienne, il existe plusieurs façons d'implémenter cette contrainte : une façon optimale serait de passer en coordonnées sphériques et de fixer le rayon , mais on ne peut pas toujours aisément trouve pour une contrainte un système de coordonnées qui permet d'encoder la contrainte aussi simplement. C'est pourquoi il faut développer des méthodes plus systématiques. Pour l'exemple, ce sera un multiplicateur de Lagrange qui sera utilisé. L'action du système à l'étude est donnée par où le dernier terme est le multiplicateur de Lagrange qui encode la contrainte. Les moments canoniques conjugués sont donnés par Notez qu'on ne peut pas déterminer à partir de l'impulsion. L'Hamiltonien est donné par À ce stade-ci, il n'est pas encore possible d'éliminer . On traite comme une abréviation faisant référence à une fonction de l'espace symplectique (qui reste encore à déterminer) et non comme une variable indépendante. À des fins de notation, on définit . L'Hamiltonien ci-dessus avec le terme est l'Hamiltonien "naïf". Bien entendu, sur la surface de contraintes, la contrainte encodée avec le multiplicateur de Lagrange doit être satisfaite, et on ne peut pas distinguer l'Hamiltonien naïf de l'Hamiltonien avec le coefficient indéterminé . La contrainte primaire est À des fins de cohérence, on veut que la contrainte soit conservée dans le temps.