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Concept
Crochet de Poisson
Résumé
En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables et , c'est-à-dire de deux fonctions sur l'espace des phases d'un système physique, par :
où les variables, dites canoniques, sont les coordonnées généralisées et les moments conjugués .
C'est un cas particulier de crochet de Lie.
Avant de continuer, soulignons au passage qu'il existe deux conventions de signes au crochet de Poisson.
La définition donnée ci-haut est dans la convention de signe employée par Dirac, Arnold , Goldstein et de Gosson pour n'en citer que quelques-uns.
La convention de signe opposée est celle adoptée par Landau et Lifschitz , Souriau , Kirillov , Woodhouse puis McDuff et Salamon :
Plus bas, on dira plus simplement que la première convention de signe du crochet de Poisson est celle de Dirac et que la seconde convention de signe est celle de Landau et Lifschitz. Notons que cette nomenclature n'est pas standard et ne vise qu'à enlever l'ambiguïté sur le signe du crochet de Poisson. Quelle convention de signe fut celle de Lagrange ou d'Hamilton par exemple ?
Le crochet de Poisson est antisymétrique :
Le crochet de Poisson apporte une structure d'algèbre à l'ensemble des observables, qui en mécanique classique sont des fonctions sur l'espace des phases :
Le crochet de Poisson satisfait à l'identité de Jacobi :
Les trois propriétés précédentes font du crochet de Poisson un cas particulier de crochet de Lie.
Le crochet de Poisson satisfait de plus à l'identité de Leibniz :
Les variables canoniques sont liées par les relations :
car les dérivées partielles commutent.
Soit le hamiltonien du système considéré.
Les équations canoniques de Hamilton en mécanique classiques sont données par :
Dans la convention de signe du crochet de Poisson utilisée par Dirac, ces deux équations se reformulent comme ceci :
Inversement, dans la convention de signe de Landau et Lifschitz, ces deux équations se reformulent plutôt comme ceci :
De manière générale, l'évolution temporelle d'un observable autonome sur l'espace des phases par un hamiltonien est dans la convention de signe de Dirac donné par alors qu'il est donné dans la convention de signe de Landau et Lifschitz par .
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