Problème des 15 écolières
vignette|upright=2| Publication originale du problème. À gauche la couverture du journal, à droite l'énoncé du problème : Query VI. En mathématiques récréatives, le problème des 15 écolières est un problème formulé par Thomas Kirkman en 1850. Il s'énonce comme suit : « Fifteen young ladies in a school walk out three abreast for seven days in succession: it is required to arrange them daily, so that no two shall walk twice abreast. » « Quinze écolières se promènent sept jours de suite par groupes de trois ; on demande de les grouper jour par jour de telle sorte que deux écolières ne se promènent jamais deux fois ensemble. » Le problème a été posé en 1850 par Kirkman dans le journal de mathématiques récréatives The Lady's and Gentleman's Diary et des solutions ont été données par Arthur Cayley et par Kirkman lui-même. Il y a eu ultérieurement un différend entre Kirkman et le mathématicien James Joseph Sylvester, qui a affirmé avoir posé lui aussi le problème. La devinette est apparue dans divers livres de mathématiques récréatives au tournant du par Lucas, Rouse Ball, Ahrens et Dudeney. Si on numérote les écolières de 0 à 14, une solution est donnée par l'arrangement suivant : {| class="wikitable" style="text-align:right" |- ! Dim ! Lun ! Mar ! Mer ! Jeu ! Ven
| ! Sam |
|---|
| 0, 5, 10 |
| 0, 1, 4 |
| 1, 2, 5 |
| 4, 5, 8 |
| 2, 4, 10 |
| 4, 6, 12 |
| 10, 12, 3 |
| - |
| 1, 6, 11 |
| 2, 3, 6 |
| 3, 4, 7 |
| 6, 7, 10 |
| 3, 5, 11 |
| 5, 7, 13 |
| 11, 13, 4 |
| - |
| 2, 7, 12 |
| 7, 8, 11 |
| 8, 9, 12 |
| 11, 12, 0 |
| 6, 8, 14 |
| 8, 10, 1 |
| 14, 1, 7 |
| - |
| 3, 8, 13 |
| 9, 10, 13 |
| 10, 11, 14 |
| 13, 14, 2 |
| 7, 9, 0 |
| 9, 11, 2 |
| 0, 2, 8 |
| - |
| 4, 9, 14 |
| 12, 14, 5 |
| 13, 0, 6 |
| 1, 3, 9 |
| 12, 13, 1 |
| 14, 0, 3 |
| 5, 6, 9 |
| } |
| Ce problème est un cas particulier de système de Steiner S(t, k, n), un ensemble à n éléments muni d'une famille de sous-ensembles à k éléments (les blocs), de sorte que chaque sous-ensemble à t éléments est contenu dans exactement un bloc (un tel système est aussi appelé un plan en blocs de paramètre t(n, k, 1)). |
