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Concept
Design combinatoire
Résumé
La théorie du design combinatoire est une partie des mathématiques combinatoires ; elle traite de l'existence, de la construction et des propriétés de systèmes d'ensembles finis dont les arrangements satisfont certains concepts d'équilibre et/ou de symétrie. Ces concepts sont assez imprécis pour qu'une large gamme d'objets puisse être considérée comme relevant de ces notions. Parfois, cela peut concerner la taille des intersections comme dans les plans en blocs, d'autres fois on est intéressé par la disposition des entrées dans un tableau comme dans les grilles de sudoku.
La théorie du design combinatoire peut être appliquée au domaine des plans d'expériences. Une partie de la théorie du design combinatoire trouve son origine dans les travaux du statisticien Ronald Fisher sur la planification des expériences biologiques. Les applications modernes concernent un large éventail de domaines, notamment; la géométrie finie, programmation de tournois, les loteries, la chimie mathématique, la biomathématique, la conception et analyse d'algorithmes, les réseaux informatiques, vérification de propriétés de groupes et cryptographie.
vignette| Le plan de Fano.
Étant donné un certain nombre n de personnes, on se demande s'il est possible de les affecter à des ensembles de telle manière que chaque personne figure dans au moins un ensemble, chaque paire de personnes figure dans exactement un ensemble, deux ensembles quelconques ont exactement une personne en commun, et de plus aucun ensemble ne contient toutes les personnes, ni toutes les personnes sauf une, ni exactement une personne?
La réponse à la question dépend du nombre n de personnes impliquées. Pour que le problème ait une solution, n doit être de la forme n = q 2 + q + 1, mais il n'est pas certain que cette condition soit suffisante : il n'est pas simple de prouver qu'une solution existe si q est la puissance d'un nombre premier. On conjecture que ce sont les seules solutions. Il a en outre été démontré que s'il existe une solution pour q congruent à 1 ou 2 mod 4, alors q est une somme de deux carrés parfaits.
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