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Concept
Plan en blocs
Résumé
En mathématiques combinatoires, un plan en blocs est un ensemble, muni d'une famille de sous-ensembles (avec des répétitions possibles) dont les membres satisfont un ensemble de propriétés considérées dans une application particulière. Les applications proviennent de nombreux domaines, notamment les plans d'expériences, la géométrie finie, la chimie physique, les tests de logiciels, la cryptographie et la géométrie algébrique. De nombreuses variantes ont été examinées, mais les plus étudiées sont les plans en blocs incomplets équilibrés (abrégé en BIBD pour balanced incomplete block designs (ou parfois 2-plans) qui sont historiquement liés à des problèmes statistiques dans la plans d'expériences.
Un plan en blocs dans laquelle tous les blocs ont la même taille est appelé uniforme. Les plans décrits dans cette pages sont tous uniformes. Les plans équilibrées par paires sont des exemples de plans en blocs qui ne sont pas nécessairement uniformes.
Étant donné un ensemble fini X (dont les éléments sont appelés points ) et des entiers k, r, λ ≥ 1, on définit un plan en blocs incomplet équilibré ou 2-plan (ou BIBD) B comme une famille de sous-ensembles à k éléments de X, appelés les blocs, et qui vérifient que élément x de X appartient à r blocs, et que toute paire de points distincts x et y de X est contenue dans λ blocs.
Le terme famille dans la définition ci-dessus peut être remplacé par ensemble s'il n'y a pas de répétition de blocs répétés. Les plans sans blocs répétés sont appelés simples .
L'entier v (le nombre de points, c'est-à-dire le nombre d'éléments de X) , l'entier b (le nombre de blocs), et les entiers k, r et λ sont les paramètres du plan. Pour éviter des exemples dégénérés, on suppose également que v > k, de sorte qu'aucun bloc ne contient tous les éléments de l'ensemble. C'est le sens du terme incomplet dans le nom de ces plans.
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