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Concept
Théorème de l'âme
Résumé
En géométrie riemannienne, le théorème de l'âme concerne la structure des espaces à courbure positive, la réduisant dans une large mesure à l'étude du cas compact. Le terme d'âme est une allusion à l'âme des armes à feu, donnant l'image d'une structure « recourbée sur elle-même » se prolongeant dans une certaine direction « à la manière d'un cylindre ». Le théorème a été prouvé par Cheeger et Gromoll en 1972, généralisant un premier résultat de Gromoll et de 1969. Un cas limite a été proposé sous forme de conjecture par Gromoll et Meyer en 1972, cette conjecture de l'âme a été prouvée par Grigori Perelman en 1994.
Un premier résultat a été établi essentiellement par Gromoll et Meyer en 1969 :
Le théorème de l'âme concerne de façon plus générale les variétés M à courbure positive :
Par exemple, dans un cylindre de révolution (dans l'espace euclidien ordinaire), tout cercle d'intersection avec un plan normal à l'axe constitue une âme, alors que les sections du cylindre par des plans obliques ne sont pas totalement géodésiques.
Dans la situation du premier théorème (courbure strictement positive), l'âme est en fait réduite à un point. La conjecture de l'âme, énoncée par Cheeger et Gromoll, visait à caractériser les situations dans lesquelles ce phénomène se produit.
Dans l'étude des variétés riemanniennes complètes non compactes, on s'intéresse particulièrement aux géodésiques qui minimisent la longueur entre deux de leurs points. Pour chaque point p de la variété, par un argument de compacité de la sphère des vecteurs tangents unitaires, on peut montrer qu'il existe au moins un « rayon » issu de p, c'est-à-dire une géodésique définie sur et minimisante entre tous ses points.
À cette considération préalable s'ajoute l'hypothèse de courbure positive, qui permet notamment d'employer le théorème de comparaison de Toponogov pour contrôler l'évolution des longueurs. C'est l'outil employé en 1969 par Gromoll et Meyer pour construire, à partir d'un rayon , une partie totalement convexe .
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