Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Conjugué isotomique
Résumé
En géométrie, le conjugué isotomique d’un point P par rapport à un triangle ABC est un autre point défini par rapport à P et ABC.
On considère un point P et un triangle ABC. Les droites (PA), (PB) et (PC) touchent les côtés BC, AC et AB respectivement aux points A, B et C. On construit les points A', B' et C', symétriques respectifs de A par rapport au milieu de BC, B par rapport au milieu de AC, et C par rapport au milieu de AB. Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes (c'est le théorème de Ceva) en un point qui est le conjugué isotomique de P par rapport au triangle ABC.
Les droites (AA), (BB) et (CC) sont concourantes. D'après le théorème de Ceva :
Or, comme A', B' et C' sont les symétriques de A, B et C par rapport aux milieux des côtés, on obtient :
En remplaçant les anciennes valeurs par les nouvelles dans la relation ci-dessus :
D'après la réciproque du théorème de Ceva, (AA'), (BB') et (CC') sont bien concourantes.
Si les coordonnées trilinéaires de P sont p : q : r, alors celles de son conjugué isotomique sont a−2p−1 : b−2q−1 : c−2r−1,
Si les coordonnées barycentriques de P sont p : q : r, alors celles de son conjugué isotomique sont 1/p: 1/q: 1/r, ou, de façon équivalente (en multipliant les coefficients par pqr) qr : pr : pq.
Le conjugué isotomique du centre de gravité est lui-même.
Le conjugué isotomique du point de Lemoine (point de concours des symédianes d'un triangle) est le troisième point de Brocard.
Le conjugué isotomique du point de Gergonne est le point de Nagel.
Le conjugué isotomique d'une droite est une conique circonscrite au triangle. Par exemple, le conjugué isotomique de la droite d'Euler est l'hyperbole de Jerabek. Plus précisément, le type de conique dépend de l'ellipse circonscrite de Steiner du triangle :
si la droite ne traverse pas l'ellipse, le conjugué isotomique est une ellipse
si la droite est tangente à l'ellipse, le conjugué isotomique est une parabole
si la droite traverse l'ellipse, le conjugué isotomique est une hyperbole ; elle sera équilatère si et seulement
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.