Conjugué isotomique

En géométrie, le conjugué isotomique d’un point P par rapport à un triangle ABC est un autre point défini par rapport à P et ABC. On considère un point P et un triangle ABC. Les droites (PA), (PB) et (PC) touchent les côtés BC, AC et AB respectivement aux points A, B et C. On construit les points A', B' et C', symétriques respectifs de A par rapport au milieu de BC, B par rapport au milieu de AC, et C par rapport au milieu de AB. Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes (c'est le théorème de Ceva) en un point qui est le conjugué isotomique de P par rapport au triangle ABC. Les droites (AA), (BB) et (CC) sont concourantes. D'après le théorème de Ceva : Or, comme A', B' et C' sont les symétriques de A, B et C par rapport aux milieux des côtés, on obtient : En remplaçant les anciennes valeurs par les nouvelles dans la relation ci-dessus : D'après la réciproque du théorème de Ceva, (AA'), (BB') et (CC') sont bien concourantes. Si les coordonnées trilinéaires de P sont p : q : r, alors celles de son conjugué isotomique sont a−2p−1 : b−2q−1 : c−2r−1, Si les coordonnées barycentriques de P sont p : q : r, alors celles de son conjugué isotomique sont 1/p: 1/q: 1/r, ou, de façon équivalente (en multipliant les coefficients par pqr) qr : pr : pq. Le conjugué isotomique du centre de gravité est lui-même. Le conjugué isotomique du point de Lemoine (point de concours des symédianes d'un triangle) est le troisième point de Brocard. Le conjugué isotomique du point de Gergonne est le point de Nagel. Le conjugué isotomique d'une droite est une conique circonscrite au triangle. Par exemple, le conjugué isotomique de la droite d'Euler est l'hyperbole de Jerabek. Plus précisément, le type de conique dépend de l'ellipse circonscrite de Steiner du triangle : si la droite ne traverse pas l'ellipse, le conjugué isotomique est une ellipse si la droite est tangente à l'ellipse, le conjugué isotomique est une parabole si la droite traverse l'ellipse, le conjugué isotomique est une hyperbole ; elle sera équilatère si et seulement

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Concepts associés (3)

Centre du triangle

En géométrie plane, la notion de centre du triangle est une notion qui généralise celle de centre d'un carré ou d'un cercle. Certains points remarquables du triangle, comme le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit et l'orthocentre sont connus depuis la Grèce antique et constructibles simplement. Chacun de ces centres classiques a la propriété d'être invariant (plus précisément équivariant) par similitudes.

Conjugué isotomique

Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle

Étant donnés trois points non alignés A, B et C du plan, il existe quatre cercles tangents aux trois droites (AB), (AC) et (BC). Ce sont le cercle inscrit (celui qui est intérieur au triangle) et les cercles exinscrits du triangle ABC. Bissectrice Un cercle tangent aux trois droites (AB), (BC), (CA) doit posséder un centre équidistant de ces trois droites. Or l'ensemble des points équidistants de deux droites sécantes (d1) et (d2) forme deux droites perpendiculaires, constituées des quatre demi-droites bissectrices chacune d'un des quatre secteurs angulaires construits par les droites (d1) et (d2), et appelées bissectrices des droites (d1) et (d2).