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Concept
Cycle (géométrie algébrique)
Résumé
En géométrie algébrique, les cycles sont des combinaisons formelles de fermés irréductibles d'un schéma donné. Le quotient du groupe des cycles par une relation d'équivalence convenable aboutit aux qui sont des objets fondamentaux.
Tous les schémas considérés ici seront supposés noethériens de dimension finie.
On fixe un schéma qu'on supposera noethérien de dimension finie . Pour tout entier positif ou nul , on appelle -cycle irréductible (resp. -cocycle irréductible) de un fermé irréductible de dimension (resp. codimension ). Un -cycle est une combinaison formelle finie
où les coefficients sont des entiers relatifs, et où les sont des -cycles irréductibles. On définit similairement les
cocycles. L'ensemble des -cycles est un groupe commutatif, qui est d'ailleurs le groupe abélien libre engendré par les fermés irréductibles de dimension de . On note ce groupe . Similairement, le groupe des cocycles est noté . On remarque que ces groupes sont nuls si .
Les 1-cocycles s'appellent les diviseurs de Weil. Ce sont donc des combinaisons entières de fermés irréductibles de codimension 1. Rappelons qu'un fermé irréductible est de codimension 1 si ce n'est pas une composante irréductible de , et si tout fermé irréductible qui le contient strictement est une composante irréductible de .
La somme directe (finie) des est le groupe des cycles de .
Le groupe est engendré par les composantes irréductibles de .
Le groupe est engendré par les composantes irréductibles de de dimension maximale.
Le groupe est engendré par les points fermés de . Ce sont les 0-cycles.
Le groupe est engendré certains points fermés (ceux qui sont de codimension ).
Supposons que soit irréductible de dimension 1. Alors .
Soit un anneau local noethérien de dimension 1. Soit un élément régulier non inversible de . On définit l'ordre de comme étant la longueur du -module artinien . Notons-le . On montre que l'application ord est additif et induit donc un homomorphisme de groupes où désigne l'anneau total des fractions de .
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