Nombre de Stirling

En mathématiques, les nombres de Stirling apparaissent dans plusieurs problèmes combinatoires. Ils tirent leur nom de James Stirling, qui les a introduits au . Il en existe trois sortes, nommés les nombres de Stirling de première espèce signés et non signés, et les nombres de Stirling de seconde espèce. Diverses notations sont utilisées pour les nombres de Stirling, parmi lesquelles : nombres de Stirling de première espèce « signés » : nombres de Stirling de première espèce « non signés » : nombres de Stirling de seconde espèce : La notation avec crochets, analogue à celle utilisée pour les coefficients binomiaux, est due à Jovan Karamata, qui l'a proposée en 1935. Son usage a été encouragé par Donald Knuth mais, outre son ergonomie discutable, elle comporte un risque de confusion avec les coefficients binomiaux de Gauss (présentés dans l'article « q-analogue »). Nous nous limiterons donc, pour chacun des trois types de nombres, à la première notation correspondante ci-dessus. Les nombres de Stirling de première espèce signés s(n, k) ,pour n, k entiers naturels, sont les coefficients du développement de la factorielle décroissante (x), c'est-à-dire que ((x)0 = 1 car il s'agit d'un produit vide). Le nombre s(n, k) a même signe que (–1). Les nombres de Stirling de première espèce non signés s(n, k) (valeurs absolues des précédents) sont les coefficients du développement de la factorielle croissante (x), c'est-à-dire que Ils ont aussi une définition combinatoire : cf. § #Interprétation combinatoire ci-dessous. Voici une table donnant quelques valeurs des s(n, k) (suites et de l'OEIS), que l'on peut calculer ligne par ligne grâce à la relation de récurrence du § suivant, de même que le triangle de Pascal : En partant de la relation , et en utilisant les relations entre coefficients et racines, on obtient : pour . Exemple Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : voir la . Les nombres de Stirling de première espèce signés vérifient la relation de récurrence avec les conditions initiales Leurs valeurs absolues vérifient (avec mêmes conditions initiales) la relation de récurrence Chacune des deux relations de récurrence peut se déduire de l'autre.

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2002

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