Concept
En géométrie, les polyèdres obliques infinis sont une définition étendue des polyèdres, créés par des faces polygonales régulières, et des figures de sommet non planaires. Beaucoup sont directement reliés aux , étant la surface polygonale d'un nid d'abeille avec certaines cellules enlevées. En tant que solides, ils sont appelés nids d'abeille partiels et aussi éponges. Ces polyèdres sont aussi appelés pavages hyperboliques parce qu'ils peuvent être regardés comme reliés aux pavages de l' qui ont aussi un négatif. Selon Coxeter, John Flinders Petrie a généralisé en 1926 le concept de réguliers (polygones non planaires) aux polyèdres obliques réguliers. Il existe 3 polyèdres obliques réguliers : {4,6|4} : 6 carrés sur un sommet (relié au , construit avec des cellules cubiques, en enlevant deux faces opposées sur chacune et en reliant tous les ensembles de six autour d'un cube sans face). {6,4|4} : 4 hexagones sur un sommet (relié au , construit avec des octaèdres tronqués avec leurs faces carrées enlevées et reliant les paires de trous ensemble). {6,6|3} : 6 hexagones sur un sommet (relié au , construit avec des cellules tétraédrique tronquées, en enlevant les faces triangulaires, et en reliant les ensembles de quatre autour d'un tétraèdre sans face). Leurs figures de sommet sont des polygones obliques, zigzaguant entre deux plans. Voici quelques représentations partielles, des vues verticales projetées de leurs figures de sommet obliques et des nids d'abeille uniformes correspondant partiellement. Il existe aussi deux formes prismatiques régulières, disqualifiées par Coxeter (parmi d'autres) de l'appellation régulière parce qu'elles ont des faces coplanaires adjacentes. 5 carrés sur un sommet (deux pavages carrés parallèles connectés par des trous cubiques). 8 triangles sur un sommet (deux pavages triangulaires parallèles connectés par des trous octaédriques). Au-delà de l'espace tridimensionnel euclidien, C. W. L. Garner a déterminé un ensemble de 32 polyèdres obliques réguliers dans un espace tridimensionnel hyperbolique, dérivé des quatre .