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Concept
Série alternée des entiers
Résumé
vignette|Les premiers milliers de termes et de sommes partielles de 1 − 2 + 3 − 4 + ...
En mathématiques, la série alternée des entiers est la série associée à la suite des nombres entiers (strictement positifs), affectés de signes alternés. Les sommes partielles de cette série peuvent donc s'écrire sous la forme :
Cette série est divergente car la suite des sommes partielles
est une suite divergente et n'admet donc pas de limite finie. Cependant, au cours du , Leonhard Euler écrivit l'identité suivante, qu'il qualifia de paradoxale :
Aucune justification rigoureuse de cette identité n'était alors disponible. En 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel et d'autres recherchèrent des méthodes générales pour sommer des séries divergentes, c'est-à-dire donner une valeur à leur somme. Dans le cas de la série 1 – 2 + 3 – 4 + ..., nombre de ces méthodes aboutissent bien à la valeur , par exemple la sommation d'Abel, mais d'autres non, comme le lemme de Cesàro, qui échoue à déterminer une somme.
Cette série et la série de Grandi sont liées et Euler les considérait comme des cas particuliers des séries de puissances alternées (1 − 2n + 3n − 4n + ..., pour n entier naturel quelconque). Cette étude prenait racine dans le problème de Bâle, pour en venir à considérer les équations fonctionnelles des fonctions êta de Dirichlet et zêta de Riemann.
La divergence de la série peut être établie par le fait que la suite de ses termes successifs ne tend pas vers 0 (série dite grossièrement divergente, par un critère classique). Cependant, cette divergence peut être établie par un argument plus précis, en effet la suite des sommes partielles prend comme valeur chaque entier relatif exactement une fois :
1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
...
On peut trouver la valeur associée à cette somme par des heuristiques.
On suppose ici qu'on puisse donner un sens à l'écriture s = 1 − 2 + 3 − 4 + ...
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