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Concept
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
Résumé
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, la série des entiers strictement positifs pris dans l'ordre croissant, est en analyse une série divergente.
La n-ième somme partielle de cette série est le nombre triangulaire :
La suite de ces sommes partielles est croissante et non majorée donc tend vers l'infini.
Bien que cette série ne possède donc a priori pas de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants (en particulier, diverses méthodes de sommation lui donnent la valeur -1/12), dont certains ont des applications dans d'autres domaines, comme l'analyse complexe, la théorie quantique des champs, la théorie des cordes ou encore l'effet Casimir.
La série a pour terme général n. Sa n-ième somme partielle est donc le nombre triangulaire S = 1 + 2 + ... + n, égal à n(n + 1)/2. La suite (S) tend vers l'infini : la série n'est donc pas convergente. Elle ne possède donc pas de somme au sens usuel du terme. Elle n'est pas non plus sommable au sens de Cesàro.
À la différence de son homologue la série alternée des entiers 1 – 2 + 3 – 4 + ..., la série 1 + 2 + 3 + 4 + ... n'est pas sommable au sens d'Abel et des méthodes plus avancées sont nécessaires pour lui attribuer la valeur –1/12.
Srinivasa Ramanujan présente deux démonstrations de « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 » au chapitre 8 de son premier cahier. La démonstration la plus simple n'est pas rigoureuse, mais permet néanmoins d'obtenir une idée de la sommation à obtenir.
Quelle que soit la « somme » de la série, appelons-la . En faisant abstraction des contraintes sur les opérations de séries infinies, multiplions-la par 4 et soustrayons le résultat :
La tâche est alors de sommer la série alternée des entiers, ce qui est plus simple car bien qu'elle soit divergente, elle ressemble au développement en série entière de la fonction 1/(1 + x)2 pour x = 1, soit :
En divisant les deux côtés par −3, on obtient .
La sommation de Ramanujan de donne également −1/12.
Une autre approche, là encore non-rigoureuse, permet de se faire simplement une idée d'une valeur possible pour la série.
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