1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, la série des entiers strictement positifs pris dans l'ordre croissant, est en analyse une série divergente. La n-ième somme partielle de cette série est le nombre triangulaire : La suite de ces sommes partielles est croissante et non majorée donc tend vers l'infini. Bien que cette série ne possède donc a priori pas de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants (en particulier, diverses méthodes de sommation lui donnent la valeur -1/12), dont certains ont des applications dans d'autres domaines, comme l'analyse complexe, la théorie quantique des champs, la théorie des cordes ou encore l'effet Casimir. La série a pour terme général n. Sa n-ième somme partielle est donc le nombre triangulaire S = 1 + 2 + ... + n, égal à n(n + 1)/2. La suite (S) tend vers l'infini : la série n'est donc pas convergente. Elle ne possède donc pas de somme au sens usuel du terme. Elle n'est pas non plus sommable au sens de Cesàro. À la différence de son homologue la série alternée des entiers 1 – 2 + 3 – 4 + ..., la série 1 + 2 + 3 + 4 + ... n'est pas sommable au sens d'Abel et des méthodes plus avancées sont nécessaires pour lui attribuer la valeur –1/12. Srinivasa Ramanujan présente deux démonstrations de « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 » au chapitre 8 de son premier cahier. La démonstration la plus simple n'est pas rigoureuse, mais permet néanmoins d'obtenir une idée de la sommation à obtenir. Quelle que soit la « somme » de la série, appelons-la . En faisant abstraction des contraintes sur les opérations de séries infinies, multiplions-la par 4 et soustrayons le résultat : La tâche est alors de sommer la série alternée des entiers, ce qui est plus simple car bien qu'elle soit divergente, elle ressemble au développement en série entière de la fonction 1/(1 + x)2 pour x = 1, soit : En divisant les deux côtés par −3, on obtient . La sommation de Ramanujan de donne également −1/12. Une autre approche, là encore non-rigoureuse, permet de se faire simplement une idée d'une valeur possible pour la série.