Opérateur pseudo-différentiel

En analyse mathématique, un opérateur pseudo-différentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-différentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs. On reprend ci-dessous les notations introduites dans l'article opérateur différentiel. Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre s'écrit : où les , appelées coefficients de l'opérateur , sont des fonctions des variables d'espace . On définit ici la transformée de Fourier de la fonction de variables par : La formule de transformation inverse s'écrit alors : Le symbole de l'opérateur différentiel d'ordre est la fonction des variables polynomiale en : L'opérateur différentiel linéaire d'ordre vérifie alors la relation : On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur à partir de son symbole . Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant. Si les coefficients de l'opérateur différentiel d'ordre sont indépendants des variables d'espace , son symbole est seulement une fonction des variables polynomiale en : de telle sorte que : soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse : Soit une fonction des variables . On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont l'action sur une fonction est définie par l'intégrale suivante : Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole présente quelques « bonnes » propriétés : la fonction doit être lisse ; la fonction doit avoir une croissance tempérée lorsque , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre , où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre tel que : où les sont des constantes, qui peuvent dépendre de . Soient et deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivement par les symboles et .