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Concept
Opérateur pseudo-différentiel
Résumé
En analyse mathématique, un opérateur pseudo-différentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-différentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs.
On reprend ci-dessous les notations introduites dans l'article opérateur différentiel.
Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre s'écrit :
où les , appelées coefficients de l'opérateur , sont des fonctions des variables d'espace .
On définit ici la transformée de Fourier de la fonction de variables par :
La formule de transformation inverse s'écrit alors :
Le symbole de l'opérateur différentiel d'ordre est la fonction des variables polynomiale en :
L'opérateur différentiel linéaire d'ordre vérifie alors la relation :
On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur à partir de son symbole . Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.
Si les coefficients de l'opérateur différentiel d'ordre sont indépendants des variables d'espace , son symbole est seulement une fonction des variables polynomiale en :
de telle sorte que :
soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse :
Soit une fonction des variables . On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont l'action sur une fonction est définie par l'intégrale suivante :
Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole présente quelques « bonnes » propriétés :
la fonction doit être lisse ;
la fonction doit avoir une croissance tempérée lorsque , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre , où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre tel que :
où les sont des constantes, qui peuvent dépendre de .
Soient et deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivement par les symboles et .
Source officielle
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