Multiplicateur de Fourier

En théorie de Fourier, un multiplicateur est un type d'opérateur linéaire ou de transformation de fonctions. Ces opérateurs agissent sur une fonction en modifiant sa transformée de Fourier. Plus précisément, ils multiplient la transformée de Fourier d'une fonction par une fonction choisie connue sous le nom de multiplicateur ou symbole. Parfois, le terme opérateur multiplicateur lui-même est simplement abrégé en multiplicateur. En termes simples, le multiplicateur déforme les fréquences impliquées dans toute fonction. Cette classe d'opérateurs s'avère large : la théorie générale montre qu'un opérateur invariant par translation sur un groupe qui obéit à certaines es conditions de régularité (très souples) peut s'exprimer comme un opérateur multiplicateur, et inversement. De nombreux opérateurs familiers, tels que les translations et la dérivation, sont des opérateurs multiplicateurs, bien qu'il existe de nombreux exemples plus compliqués tels que la transformation de Hilbert. Dans le traitement du signal, un opérateur multiplicateur est appelé "filtre", et le multiplicateur est la réponse fréquentielle du filtre (ou fonction de transfert). Dans un contexte plus large, les opérateurs multiplicateurs sont des cas particuliers d'opérateurs multiplicateurs spectraux, qui découlent du calcul fonctionnel d'un opérateur (ou d'une famille d'opérateurs commutants). Ce sont aussi des cas particuliers d'opérateurs pseudo-différentiels, et plus généralement d'opérateurs intégraux de Fourier. Il y a des questions naturelles dans ce domaine qui sont encore ouvertes, comme la caractérisation des opérateurs multiplicateurs bornés Lp (voir ci-dessous). Les opérateurs multiplicateurs ne sont pas liés aux multiplicateurs de Lagrange, mis à part le fait qu'ils impliquent tous deux l'opération de multiplication. Cet article nécessite des connaissances minimale sur la transformée de Fourier, qu'on trouvera sur l'article dédié. Des informations supplémentaires importantes peuvent être trouvées sur les pages norme d'opérateur et espace Lp.

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