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Concept
Théorie des systèmes dynamiques
Résumé
La théorie des systèmes dynamiques désigne couramment la branche des mathématiques qui s'efforce d'étudier les propriétés d'un système dynamique. Cette recherche active se développe à la frontière de la topologie, de l'analyse, de la géométrie, de la théorie de la mesure et des probabilités. La nature de cette étude est conditionnée par le système dynamique étudié et elle dépend des outils utilisés (analytiques, géométriques ou probabilistes).
Historiquement, les premières questions relevant des systèmes dynamiques concernaient la mécanique à une époque où elle était incluse dans l'enseignement des mathématiques. Une des questions majeures qui ont motivé la recherche mathématique est le problème de la stabilité du système solaire. Les travaux de Lagrange sur le sujet consistèrent à interpréter l'influence des corps autres que le Soleil sur une planète comme une succession de chocs infinitésimaux : ces travaux retrouvent des échos dans le théorème KAM (Kolmogorov - Arnold - Moser).
Les systèmes dynamiques se sont développés et spécialisés au cours du . Ils concernaient en premier lieu l'itération des applications continues et la stabilité des équations différentielles. Mais progressivement, au fur et à mesure de la diversification des mathématiques, les systèmes dynamiques se sont considérablement élargis. Ils comprennent aujourd'hui l'étude des actions continues de groupes, dont l'intérêt réside dans ses applications en géométrie, et la théorie ergodique, née de l'avènement de la théorie de la mesure et qui trouve ses échos en probabilités.
L'étude du comportement des équations différentielles est à l'origine des systèmes dynamiques. Les questions qui surgissent sont de plusieurs natures. Elles concernent :
le comportement limite des solutions ;
la stabilité des solutions par rapport aux conditions initiales ;
la stabilité des solutions par rapport à des perturbations portant sur l'équation différentielle.
Le cas particulier des équations différentielles homogènes d'ordre 1 semble relativement simple.
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