Groupes : Définitions, propriétés et homomorphismes

Cette séance de cours couvre les concepts fondamentaux liés aux groupes, y compris les définitions, les propriétés et les homomorphismes. Il commence par définir un groupe comme un ensemble avec une opération binaire satisfaisant des axiomes spécifiques. La séance de cours explore ensuite l'ordre d'un groupe, des groupes abéliens et des groupes cycliques. Il explore des sujets tels que le noyau d'un homomorphisme, les générateurs d'un groupe et les propriétés d'un sous-groupe. En outre, il discute des sous-groupes normaux et de leur signification dans la théorie des groupes. La séance de cours se termine par des exemples d'homomorphismes de groupe et leurs applications dans la compréhension des structures de groupe.

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Séances de cours associées (75)

Concepts associés (32)

Sous-groupe normal

En théorie des groupes, un sous-groupe normal (également appelé sous-groupe distingué ou sous-groupe invariantLien web|langue=fr|titre=Introduction à la théorie des groupes et de leurs représentations|auteur=Jean-Bernard Zuber|url=) H d'un groupe G est un sous-groupe globalement stable par l'action de G sur lui-même par conjugaison. Les sous-groupes normaux interviennent naturellement dans la définition du quotient d'un groupe. Les sous-groupes normaux de G sont exactement les noyaux des morphismes définis sur G.

Sous-groupe

Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗. Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.

Sous-groupe caractéristique

Dans un groupe G, un sous-groupe H est dit caractéristique lorsqu'il est stable par tout automorphisme de G : strictement caractéristique lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme surjectif de G ; pleinement caractéristique, ou encore pleinement invariant, lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme de G : Un sous-groupe H de G est sous-groupe caractéristique de G si et seulement si Un sous-groupe caractéristique de G est en particulier stable par tout automorphisme intérieur de G : c'est donc un

Morphisme d'anneaux

Un morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux (unitaires) A et B, compatible avec les lois de ces anneaux et qui envoie le neutre multiplicatif de A sur le neutre multiplicatif de B. Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux (unitaires) A et B qui vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tous a, b dans A : f(a + b) = f(a) + f(b) f(a ∙ b) = f(a) ∙ f(b) f(1A) = 1B.

Treillis des sous-groupes

thumb|Diagramme de Hasse du treillis des sous-groupes du groupe diédral D. En mathématique, le treillis des sous-groupes d'un groupe G est le treillis constitué des sous-groupes de G, muni de l'inclusion comme relation d'ordre partielle. La borne supérieure de deux sous-groupes a et b est le sous-groupe engendré par l'union de a et b et leur borne inférieure est leur intersection. Le groupe diédral D des huit isométries du carré contient dix sous-groupes, y compris D lui-même et son sous-groupe trivial.

MATH-310: Algebra

This is an introduction to modern algebra: groups, rings and fields.

Homomorphismes de groupe : Amandes, images et sous-groupes normaux MATH-310: Algebra

Explore les homomorphismes de groupe, les noyaux, les images et les sous-groupes normaux, en utilisant le groupe dièdre D_n comme exemple.

Groupes fondamentaux MATH-410: Riemann surfaces

Explore les groupes fondamentaux, les classes d'homotopie et les revêtements dans les variétés connectées.

Théorie de groupe: Partie 2 PHYS-314: Quantum physics II

Explore les tables de Cayley, les opérations de groupe, les homomorphismes, les groupes Lie et les groupes différenciables.

Groupes d'Abeliens Finites MATH-310: Algebra

Couvre le théorème de Cauchy, la classification des groupes abeliens finis, les propriétés directes du produit, et plus encore.

Groupe symétrique: Notation de cycle MATH-310: Algebra

Explore le groupe symétrique, en mettant l'accent sur la notation du cycle et les propriétés du groupe.