Groupes commutatifs: Fondements de la cryptographie

Cette séance de cours introduit le concept de groupes commutatifs, essentiels pour comprendre les algorithmes cryptographiques tels que Diffie-Hellman, RSA et ElGamal. L'instructeur commence par discuter de l'importance des groupes et des champs finis, en mettant l'accent sur leurs rôles dans la cryptographie. La définition d'un groupe commutatif est présentée, détaillant les axiomes nécessaires: fermeture, associativité, élément d'identité, élément inverse et commutabilité. La séance de cours comprend des exercices pour identifier les groupes commutatifs et explore les propriétés des groupes formés sous l'arithmétique modulaire. L'instructeur explique la fonction totient d'Euler, qui compte les entiers co-prime à un entier donné, et sa signification dans la détermination du nombre d'éléments dans un groupe. Le concept d'isomorphisme est également introduit, illustrant comment différents groupes peuvent présenter la même structure. La séance de cours se termine par une discussion sur l'exponentiation au sein des groupes, soulignant sa pertinence dans les applications cryptographiques. Dans l'ensemble, la séance de cours fournit un aperçu complet des fondements mathématiques nécessaires pour les études avancées en cryptographie.