Séquences et convergence : comprendre les fondements mathématiques

Cette séance de cours se concentre sur le concept de séquences en mathématiques, en particulier leurs propriétés de convergence. L'instructeur commence par rappeler la définition d'une séquence en tant que fonction des nombres naturels aux nombres réels. La discussion souligne l'importance de la convergence, définie par le critère epsilon-delta, où une séquence converge vers une limite si, pour chaque epsilon supérieur à zéro, il existe un entier naturel tel que tous les termes ultérieurs de la séquence sont à l'intérieur de cette distance epsilon de la limite. L'instructeur introduit également le concept de séquences bornées, expliquant qu'une séquence est bornée s'il existe une constante telle que tous les termes de la séquence se trouvent dans une plage spécifique. La séance de cours explore en outre la relation entre limitedness et convergence, soulignant que si chaque séquence convergente est bornée, l'inverse n'est pas nécessairement vrai. Le théorème de Bolzano-Weierstrass est mentionné, qui stipule que chaque séquence bornée a une sous-séquence convergente. La séance de cours se termine par des exemples et des applications de ces concepts en analyse mathématique.