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On Certain Kahler Quotients of Quaternionic Kahler Manifolds

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Variété kählérienne

En mathématiques, une variété kählérienne ou variété de Kähler est une variété différentielle équipée d'une structure unitaire satisfaisant une condition d'intégrabilité. C'est en particulier une variété riemannienne, une variété symplectique et une variété complexe, ces trois structures étant mutuellement compatibles. Les variétés kählériennes sont un objet d'étude naturel en géométrie différentielle complexe. Elles doivent leur nom au mathématicien Erich Kähler. Plusieurs définitions équivalentes existent.

Hyperkähler manifold

In differential geometry, a hyperkähler manifold is a Riemannian manifold endowed with three integrable almost complex structures that are Kähler with respect to the Riemannian metric and satisfy the quaternionic relations . In particular, it is a hypercomplex manifold. All hyperkähler manifolds are Ricci-flat and are thus Calabi–Yau manifolds. Hyperkähler manifolds were defined by Eugenio Calabi in 1979. Equivalently, a hyperkähler manifold is a Riemannian manifold of dimension whose holonomy group is contained in the compact symplectic group Sp(n).

Variété complexe

Les variétés complexes ou plus généralement les sont les objets d'étude de la géométrie analytique complexe. Une variété complexe de dimension n est un espace topologique obtenu par recollement d'ouverts de Cn selon des biholomorphismes, c'est-à-dire des bijections holomorphes. Plus précisément, une variété complexe de dimension n est un espace topologique dénombrable à l'infini (c'est-à-dire localement compact et σ-compact) possédant un atlas de cartes sur Cn, tel que les applications de changement de cartes soient des biholomorphismes.

Kähler differential

In mathematics, Kähler differentials provide an adaptation of differential forms to arbitrary commutative rings or schemes. The notion was introduced by Erich Kähler in the 1930s. It was adopted as standard in commutative algebra and algebraic geometry somewhat later, once the need was felt to adapt methods from calculus and geometry over the complex numbers to contexts where such methods are not available. Let R and S be commutative rings and φ : R → S be a ring homomorphism.

G-structure on a manifold

In differential geometry, a G-structure on an n-manifold M, for a given structure group G, is a principal G-subbundle of the tangent frame bundle FM (or GL(M)) of M. The notion of G-structures includes various classical structures that can be defined on manifolds, which in some cases are tensor fields. For example, for the orthogonal group, an O(n)-structure defines a Riemannian metric, and for the special linear group an SL(n,R)-structure is the same as a volume form.

Structure presque complexe

En géométrie différentielle, une structure presque complexe sur une variété différentielle réelle est la donnée d'une structure d'espace vectoriel complexe sur chaque espace tangent. Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, c'est-à-dire une section globale du fibré vectoriel , vérifiant : Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.

Supergravité

vignette|Vue d'artiste de la sonde gravitationnelle B en orbite autour de la Terre pour mesurer l'espace-temps, une description quadridimensionnelle de l'univers comprenant la hauteur, la largeur, la longueur et le temps. En physique théorique, une théorie de la supergravité est une théorie du champ de Maxwell qui combine la supersymétrie et la relativité générale. Les théories de supergravité possèdent une super-symétrie locale, c'est-à-dire qu'elles sont invariantes par une transformation de supersymétrie dont les paramètres dépendent de la position dans l'espace.

Géométrie complexe

In mathematics, complex geometry is the study of geometric structures and constructions arising out of, or described by, the complex numbers. In particular, complex geometry is concerned with the study of spaces such as complex manifolds and complex algebraic varieties, functions of several complex variables, and holomorphic constructions such as holomorphic vector bundles and coherent sheaves. Application of transcendental methods to algebraic geometry falls in this category, together with more geometric aspects of complex analysis.

Hermitian manifold

In mathematics, and more specifically in differential geometry, a Hermitian manifold is the complex analogue of a Riemannian manifold. More precisely, a Hermitian manifold is a complex manifold with a smoothly varying Hermitian inner product on each (holomorphic) tangent space. One can also define a Hermitian manifold as a real manifold with a Riemannian metric that preserves a complex structure. A complex structure is essentially an almost complex structure with an integrability condition, and this condition yields a unitary structure (U(n) structure) on the manifold.

Hodge structure

In mathematics, a Hodge structure, named after W. V. D. Hodge, is an algebraic structure at the level of linear algebra, similar to the one that Hodge theory gives to the cohomology groups of a smooth and compact Kähler manifold. Hodge structures have been generalized for all complex varieties (even if they are singular and non-complete) in the form of mixed Hodge structures, defined by Pierre Deligne (1970). A variation of Hodge structure is a family of Hodge structures parameterized by a manifold, first studied by Phillip Griffiths (1968).