En mathématiques, une variété kählérienne ou variété de Kähler est une variété différentielle équipée d'une structure unitaire satisfaisant une condition d'intégrabilité. C'est en particulier une variété riemannienne, une variété symplectique et une variété complexe, ces trois structures étant mutuellement compatibles. Les variétés kählériennes sont un objet d'étude naturel en géométrie différentielle complexe.
Elles doivent leur nom au mathématicien Erich Kähler.
Plusieurs définitions équivalentes existent. Cela est dû aux relations entre structures complexes, symplectiques et riemanniennes. Une manière de le comprendre est de constater que le groupe unitaire (qui joue le rôle de groupe de structure d'une variété kählérienne) est l'intersection d'un couple quelconque des trois groupes , et .
Donnons deux définitions équivalentes.
Une variété kählérienne est une variété hermitienne (i.e. une variété complexe munie d'une métrique hermitienne ) telle que la -forme soit fermée.
Une variété kählérienne est une variété riemannienne munie d'une structure presque complexe orthogonale (pour g) et constante covariante (pour la connexion de Levi-Civita).
La condition d'intégrabilité s'écrit dans le premier cas , dans le second cas . Elle exprime géométriquement le fait que le transport parallèle soit linéaire complexe. On dit dans ce cas que (ou parfois ) est une métrique kählérienne sur . On vérifie que s'identifie à un facteur constant près à la forme
volume de g, ce qui montre que est une forme symplectique. On l'appelle la forme de Kähler de la variété kählérienne .
Le lien entre les structures hermitienne , riemannienne et symplectique est apparent à travers la relation .
Les variétés kählériennes sont des objets riches en géométrie différentielle. Il y a d'ailleurs des obstructions topologiques à l'existence d'une métrique kählérienne sur une variété complexe (contrairement à celle d'une métrique hermitienne par exemple). Il est par exemple facile de voir que la classe de cohomologie d'une forme de Kähler sur une variété compacte ne peut être nulle.
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
La théorie de Hodge est l'étude, avec l'apport notamment de la topologie algébrique, des formes différentielles sur une variété lisse. En conséquence elle éclaire l'étude des variétés riemanniennes et kählériennes, ainsi que l'étude géométrique des motifs. Elle tient son nom du mathématicien écossais William Hodge. Un des problèmes du prix du millénaire a trait à cette théorie : la conjecture de Hodge.
En mathématiques, une variété kählérienne ou variété de Kähler est une variété différentielle équipée d'une structure unitaire satisfaisant une condition d'intégrabilité. C'est en particulier une variété riemannienne, une variété symplectique et une variété complexe, ces trois structures étant mutuellement compatibles. Les variétés kählériennes sont un objet d'étude naturel en géométrie différentielle complexe. Elles doivent leur nom au mathématicien Erich Kähler. Plusieurs définitions équivalentes existent.
William Vallance Douglas Hodge ( - ) est un mathématicien écossais. Il fut l'élève d'Edmund Taylor Whittaker. Il est notamment connu pour ses travaux reliant la géométrie différentielle (entre autres la dualité de Hodge) et la géométrie algébrique. Il formulé la conjecture qui porte son nom. 1936 : Prix Adams 1952 : Prix Senior Berwick 1957 : Médaille royale 1959 : Médaille De Morgan 1974 : Médaille Copley Théorème de Helmholtz-Hodge Théorie de Hodge Catégorie:Mathématicien écossais du XXe siècle Catégorie:
This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex
We develop, analyze and implement numerical algorithms to solve optimization problems of the form: min f(x) where x is a point on a smooth manifold. To this end, we first study differential and Rieman
Learn to optimize on smooth, nonlinear spaces: Join us to build your foundations (starting at "what is a manifold?") and confidently implement your first algorithm (Riemannian gradient descent).
We study N = 2 vacua in spontaneously broken N = 4 electrically gauged supergravities in four space-time dimensions. We argue that the classification of all such solutions amounts to solving a system
Springer2013
, ,
We show that contrary to the common lore it is possible to spontaneously break N = 2 supersymmetry even in simple theories without constant Fayet-Iliopoulos terms. We consider the most general N = 2 s
Elsevier Science Bv2013
A compact Kahler manifold X is shown to be simply connected if its 'symmetric cotangent algebra' is trivial. Conjecturally, such a manifold should even be rationally connected. The relative version is