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Concept
Variété kählérienne
Résumé
En mathématiques, une variété kählérienne ou variété de Kähler est une variété différentielle équipée d'une structure unitaire satisfaisant une condition d'intégrabilité. C'est en particulier une variété riemannienne, une variété symplectique et une variété complexe, ces trois structures étant mutuellement compatibles. Les variétés kählériennes sont un objet d'étude naturel en géométrie différentielle complexe.
Elles doivent leur nom au mathématicien Erich Kähler.
Plusieurs définitions équivalentes existent. Cela est dû aux relations entre structures complexes, symplectiques et riemanniennes. Une manière de le comprendre est de constater que le groupe unitaire (qui joue le rôle de groupe de structure d'une variété kählérienne) est l'intersection d'un couple quelconque des trois groupes , et .
Donnons deux définitions équivalentes.
Une variété kählérienne est une variété hermitienne (i.e. une variété complexe munie d'une métrique hermitienne ) telle que la -forme soit fermée.
Une variété kählérienne est une variété riemannienne munie d'une structure presque complexe orthogonale (pour g) et constante covariante (pour la connexion de Levi-Civita).
La condition d'intégrabilité s'écrit dans le premier cas , dans le second cas . Elle exprime géométriquement le fait que le transport parallèle soit linéaire complexe. On dit dans ce cas que (ou parfois ) est une métrique kählérienne sur . On vérifie que s'identifie à un facteur constant près à la forme
volume de g, ce qui montre que est une forme symplectique. On l'appelle la forme de Kähler de la variété kählérienne .
Le lien entre les structures hermitienne , riemannienne et symplectique est apparent à travers la relation .
Les variétés kählériennes sont des objets riches en géométrie différentielle. Il y a d'ailleurs des obstructions topologiques à l'existence d'une métrique kählérienne sur une variété complexe (contrairement à celle d'une métrique hermitienne par exemple). Il est par exemple facile de voir que la classe de cohomologie d'une forme de Kähler sur une variété compacte ne peut être nulle.
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