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Communication-efficient distributed training of machine learning models

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Topologie faible

En mathématiques, la topologie faible d'un espace vectoriel topologique E est une topologie définie sur E au moyen de son dual topologique E'. On définit également sur E' une topologie dite faible-* au moyen de E. Dans tout cet article, sauf mention contraire, on notera pour et forme linéaire sur . Soient E un espace vectoriel normé (réel ou complexe), ou plus généralement un espace vectoriel topologique et E' son dual topologique, c’est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues sur E.

Arbre couvrant de poids minimal

thumb|L'arbre couvrant de poids minimal d'un graphe planaire. Chaque arête est identifiée avec son poids qui, ici, est approximativement sa longueur. En théorie des graphes, étant donné un graphe non orienté connexe dont les arêtes sont pondérées, un arbre couvrant de poids minimal (ACM), arbre couvrant minimum ou arbre sous-tendant minimum de ce graphe est un arbre couvrant (sous-ensemble qui est un arbre et qui connecte tous les sommets ensemble) dont la somme des poids des arêtes est minimale (c'est-à-dire de poids inférieur ou égal à celui de tous les autres arbres couvrants du graphe).

Polar topology

In functional analysis and related areas of mathematics a polar topology, topology of -convergence or topology of uniform convergence on the sets of is a method to define locally convex topologies on the vector spaces of a pairing.

Mackey topology

In functional analysis and related areas of mathematics, the Mackey topology, named after George Mackey, is the finest topology for a topological vector space which still preserves the continuous dual. In other words the Mackey topology does not make linear functions continuous which were discontinuous in the default topology. A topological vector space (TVS) is called a Mackey space if its topology is the same as the Mackey topology.

Strong operator topology

In functional analysis, a branch of mathematics, the strong operator topology, often abbreviated SOT, is the locally convex topology on the set of bounded operators on a Hilbert space H induced by the seminorms of the form , as x varies in H. Equivalently, it is the coarsest topology such that, for each fixed x in H, the evaluation map (taking values in H) is continuous in T. The equivalence of these two definitions can be seen by observing that a subbase for both topologies is given by the sets (where T0 is any bounded operator on H, x is any vector and ε is any positive real number).

Topologie compacte-ouverte

En mathématiques, la topologie compacte-ouverte est une topologie définie sur l'ensemble des applications continues entre deux espaces topologiques. C'est l'une des topologies les plus utilisées sur un tel espace fonctionnel, et elle est employée en théorie de l'homotopie et en analyse fonctionnelle. Elle a été introduite par Ralph Fox en 1945. Soient X et Y deux espaces topologiques et C(X,Y) l'espace des applications continues de X dans Y.