The monoid algebra of all relations on a finite set
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We classify all the simple modules for the algebra of relations on a finite set, give their dimension, and find the dimension of the Jacobson radical of the algebra.
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We prove some new cases of the Grothendieck-Serre conjecture for classical groups. This is based on a new construction of the Gersten-Witt complex for Witt groups of Azumaya algebras with involution on regular semilocal rings, with explicit second residue ...
Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M. Les Z-modules simples sont les groupes abéliens simples, c'est-à-dire les groupes cycliques d'ordre premier. Les espaces vectoriels simples (sur un corps non nécessairement commutatif) sont les droites vectorielles. Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.
En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique. Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal.
thumb|Camille Jordan, auteur du théorème clé de la théorie En mathématiques et plus précisément en algèbre non commutative, un module sur un anneau est dit semi-simple ou complètement réductible s'il est somme directe de sous-modules simples ou, ce qui est équivalent, si chacun de ses sous-modules possède un supplémentaire. Les propriétés des modules semi-simples sont utilisées en algèbre linéaire pour l'analyse des endomorphismes, dans le cadre des anneaux semi-simples et pour la théorie des représentations des groupes.
A correspondence functor is a functor from the category of finite sets and correspondences to the category of k-modules, where k is a commutative ring. By means of a suitably defined duality, new correspondence functors are constructed, having remarkable p ...
We determine the dimensions of Ext -groups between simple modules and dual generalized Verma modules in singular blocks of parabolic versions of category O for complex semisimple Lie algebras and affine Kac-Moody algebras. ...
