Concept

Module simple

Résumé
Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M. Exemples *Les ℤ-modules simples sont les groupes abéliens simples, c'est-à-dire les groupes cycliques d'ordre premier. *Les espaces vectoriels simples (sur un corps non nécessairement commutatif) sont les droites vectorielles.
  • Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.
Structure des modules simples Soient A un anneau unitaire et M un A-module simple.
  • Alors M est un A-module monogène, engendré par n'importe quel élément non nul x de M. En effet, Ax est un sous-module non nul de M, donc c'est M. La réciproque est fausse, par exemple le ℤ-module ℤ est monogène (engendré par 1) mais pas simple.
  • Soit x un élément non nul M. Alors l'ensemble des éléments a de A tels que ax = 0 est un idéal à gauche maximal I de A, et l
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