Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M.
Les Z-modules simples sont les groupes abéliens simples, c'est-à-dire les groupes cycliques d'ordre premier.
Les espaces vectoriels simples (sur un corps non nécessairement commutatif) sont les droites vectorielles.
Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.
Soient A un anneau unitaire et M un A-module simple.
Alors M est un A-module monogène, engendré par n'importe quel élément non nul x de M. En effet, Ax est un sous-module non nul de M, donc c'est M. La réciproque est fausse, par exemple le Z-module Z est monogène (engendré par 1) mais pas simple.
Soit x un élément non nul M. Alors l'ensemble des éléments a de A tels que ax = 0 est un idéal à gauche maximal I de A, et l'application a↦ax de A dans M est A-linéaire, et par passage au quotient, définit un isomorphisme de A-modules de A/I sur M.
Réciproquement, pour tout idéal à gauche J de A, pour que le A-module A/J soit simple, il faut et il suffit que J soit un élément maximal de l'ensemble des idéaux à gauche de A différent de A.
Les modules simples sont les modules de longueur 1.
Un module simple est un module indécomposable, c'est-à-dire qu'il n'est pas isomorphe à une somme directe de deux modules non nuls. La réciproque est fausse : par exemple, les Z-modules de type fini indécomposables sont Z et les groupes cycliques d'ordre p avec p premier et n > 0.
Contrairement à ce qui se passe pour des espaces vectoriels, un module non nul peut ne pas posséder de sous-module simple. Par exemple, tous les sous-modules non nuls de Z sont isomorphes à Z donc non simples.
Soient A un anneau, M et N des A-modules et f une application A-linéaire de M dans N. Si M est simple, alors f est soit nulle, soit injective (en effet, le noyau de f est un sous-module de M, donc {0} ou M).
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The students are going to solidify their knowledge of ring and module theory with a major emphasis on commutative algebra and a minor emphasis on homological algebra.
Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a
In mathematics, the endomorphisms of an abelian group X form a ring. This ring is called the endomorphism ring of X, denoted by End(X); the set of all homomorphisms of X into itself. Addition of endomorphisms arises naturally in a pointwise manner and multiplication via endomorphism composition. Using these operations, the set of endomorphisms of an abelian group forms a (unital) ring, with the zero map as additive identity and the identity map as multiplicative identity.
Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M. Les Z-modules simples sont les groupes abéliens simples, c'est-à-dire les groupes cycliques d'ordre premier. Les espaces vectoriels simples (sur un corps non nécessairement commutatif) sont les droites vectorielles. Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.
En algèbre commutative, un anneau artinien est un anneau vérifiant la condition de chaîne descendante pour ses idéaux. Les anneaux artiniens doivent leur nom au mathématicien autrichien Emil Artin. On dit qu'un anneau commutatif (unitaire) A est un anneau artinien si c'est un A-module artinien, autrement dit, si toute suite décroissante d'idéaux de A est stationnaire. Cela équivaut à dire que tout ensemble non vide d'idéaux de A admet un élément minimal (pour la relation d'inclusion).
We determine the dimension of every simple module for the algebra of the monoid of all relations on a finite set (i.e. Boolean matrices). This is in fact the same question as the determination of the
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Let G be either a simple linear algebraic group over an algebraically closed field of characteristic l>0 or a quantum group at an l-th root of unity. The category Rep(G) of finite-dimensional G-module