Module simple

Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M. Les Z-modules simples sont les groupes abéliens simples, c'est-à-dire les groupes cycliques d'ordre premier. Les espaces vectoriels simples (sur un corps non nécessairement commutatif) sont les droites vectorielles. Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche. Soient A un anneau unitaire et M un A-module simple. Alors M est un A-module monogène, engendré par n'importe quel élément non nul x de M. En effet, Ax est un sous-module non nul de M, donc c'est M. La réciproque est fausse, par exemple le Z-module Z est monogène (engendré par 1) mais pas simple. Soit x un élément non nul M. Alors l'ensemble des éléments a de A tels que ax = 0 est un idéal à gauche maximal I de A, et l'application a↦ax de A dans M est A-linéaire, et par passage au quotient, définit un isomorphisme de A-modules de A/I sur M. Réciproquement, pour tout idéal à gauche J de A, pour que le A-module A/J soit simple, il faut et il suffit que J soit un élément maximal de l'ensemble des idéaux à gauche de A différent de A. Les modules simples sont les modules de longueur 1. Un module simple est un module indécomposable, c'est-à-dire qu'il n'est pas isomorphe à une somme directe de deux modules non nuls. La réciproque est fausse : par exemple, les Z-modules de type fini indécomposables sont Z et les groupes cycliques d'ordre p avec p premier et n > 0. Contrairement à ce qui se passe pour des espaces vectoriels, un module non nul peut ne pas posséder de sous-module simple. Par exemple, tous les sous-modules non nuls de Z sont isomorphes à Z donc non simples. Soient A un anneau, M et N des A-modules et f une application A-linéaire de M dans N. Si M est simple, alors f est soit nulle, soit injective (en effet, le noyau de f est un sous-module de M, donc {0} ou M).