Théorie des perturbations

La théorie des perturbations est un domaine des mathématiques, qui consiste à étudier les contextes où il est possible de trouver une solution approchée à une équation en partant de la solution d'un problème plus simple. Plus précisément, on cherche une solution approchée à une équation (E) (dépendante d'un paramètre λ), sachant que la solution de l'équation (E) (correspondant à la valeur λ=0) est connue exactement. L'équation mathématique (E) peut être par exemple une équation algébrique ou une équation différentielle. La méthode consiste à chercher la solution approchée de l'équation (E) sous la forme d'un développement en série des puissances du paramètre λ, cette solution approchée étant supposée être une approximation d'autant meilleure de la solution exacte, mais inconnue, que la valeur absolue du paramètre λ est plus « petite ». Dès le début du , la théorie des perturbations a été utilisée par les astronomes pour les besoins de la mécanique céleste : en effet, les équations différentielles décrivant un système de N corps en interaction gravitationnelle n'a pas de solution exacte générale pour N ≥ 3. Cet aspect de la théorie des perturbations a été synthétisé à la fin du dans les ouvrages classiques de Laplace, Tisserand et Poincaré, avant de connaître de nouveaux développements dans la seconde moitié du avec l'avènement en 1954 de la « théorie KAM », du nom de ses trois concepteurs : Kolmogorov, Arnold et Moser. La méthode a par ailleurs été abondamment utilisée au pour les besoins de la physique quantique, d'abord en mécanique quantique non relativiste, puis en théorie quantique des champs perturbative. On a vu qu'on cherchait ici la solution approchée de l'équation (E) sous la forme d'un développement en série des puissances du paramètre λ ; la question de la convergence de cette série se pose alors. Ce problème a été réglé pour l'astronomie par Poincaré en 1892 : la « série » de perturbation doit être comprise mathématiquement comme un développement asymptotique au voisinage de zéro, et non comme une série ordinaire convergente uniformément.