Concept
En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne. Un magma est un ensemble muni d'une loi de composition interne , noté alors ou simplement . Aucun axiome n'est imposé. La loi de composition peut être notée additivement, multiplicativement, mais aussi sans aucun signe, par simple juxtaposition. On dit que le magma est : unifère s'il possède un élément neutre , c'est-à-dire ; un demi-groupe (ou associatif) si est associative ; un monoïde s'il vérifie les deux propriétés (associativité et existence d'un élément neutre). Si et sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de dans est par définition une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de dans et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas. Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes. Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide. est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier. est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier. est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est permutatif et régulier. On appelle magma opposé au magma le magma où pour tous . Magma quotient Magma quotient Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments muni de la loi interne ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie.